Successioni e completezza.
Ciao a tutti, ho altri tre esercizi da sottoporvi:
(i) Se \(\displaystyle \mathrm{d}_1,\mathrm{d}_2 \) definiscono una struttura metrica su $X$ ed esistono due costanti positive tali che per ogni coppia \(\displaystyle x,y\in X \) si abbia \(\displaystyle a\mathrm{d}_1(x,y)\le\mathrm{d}_2(x,y)\le b\mathrm{d}_1(x,y) \), allora \(\displaystyle (X,\mathrm{d}_1) \) e \(\displaystyle (X,\mathrm{d}_2) \) hanno le stesse successioni di Cauchy.
Data \(\displaystyle x_n\in X \), devo mostrare che \(\displaystyle \mathrm{d}_1(x_n,x_m)\le\epsilon \Leftrightarrow \mathrm{d}_2(x_n,x_m)\le\epsilon \). Ma questo deriva dalla catena di disuguaglianze precedente: infatti, se vale \(\displaystyle \mathrm{d}_2(x_n,x_m)\le\epsilon \), allora \(\displaystyle d_1(x_n,x_m)\le d_2(x_n,x_m)/a \), e viceversa\(\displaystyle d_2(x_n,x_m)\le b\mathrm{d}_1(x_n,y_m)=b\epsilon \).
(ii) Se \(\displaystyle x_n, y_n \) sono successioni convergenti nello spazio \(\displaystyle (X,d) \), mostrare che \(\displaystyle a_n=\mathrm{d}(x_n,y_n) \) converge. Cosa si può dire se invece \(\displaystyle x_n, y_n \) sono di Cauchy?
Supponendo \(\displaystyle x_n\to x, y_n\to y \), considerato che \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,y_n)\le\mathrm{d}(x_n,x)+\mathrm{d}(x,y)+\mathrm{d}(y,y_n) \), si ha \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,y_n)-\mathrm{d}(x,y)\le \mathrm{d}(x_n,x)+\mathrm{d}(y_n,y)\le \epsilon \), che dimostra la convergenza di \(\displaystyle a_n \) a \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y) \). Fin qui non dovrebbero esserci problemi! Il problema invece sorge nella seconda domanda; sono convinto che ci sia ugualmente convergenza ma non riesco a farlo vedere.
(iii) Data la completezza di \(\displaystyle \mathbb{R} \), mostrare che \(\displaystyle \mathbb{C} \) è completo.
Anche qui ho un dubbio: infatti data la completezza di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) è possibile identificare il modulo complesso con la norma euclidea, e quindi la struttura di spazio metrico indotta da tale norma su \(\displaystyle \mathbb{C} \) è identica a quella di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), pertanto lo spazio è completo. Ma conoscendo solo la completezza della retta reale questo ragionamento non si può fare, perché non credo sia tanto banale dedurre la completezza dello spazio euclideo di dimensione arbitraria da quello di dimensione uno. C'è un modo facile per rispondere senza passare da questa dimostrazione?
(i) Se \(\displaystyle \mathrm{d}_1,\mathrm{d}_2 \) definiscono una struttura metrica su $X$ ed esistono due costanti positive tali che per ogni coppia \(\displaystyle x,y\in X \) si abbia \(\displaystyle a\mathrm{d}_1(x,y)\le\mathrm{d}_2(x,y)\le b\mathrm{d}_1(x,y) \), allora \(\displaystyle (X,\mathrm{d}_1) \) e \(\displaystyle (X,\mathrm{d}_2) \) hanno le stesse successioni di Cauchy.
Data \(\displaystyle x_n\in X \), devo mostrare che \(\displaystyle \mathrm{d}_1(x_n,x_m)\le\epsilon \Leftrightarrow \mathrm{d}_2(x_n,x_m)\le\epsilon \). Ma questo deriva dalla catena di disuguaglianze precedente: infatti, se vale \(\displaystyle \mathrm{d}_2(x_n,x_m)\le\epsilon \), allora \(\displaystyle d_1(x_n,x_m)\le d_2(x_n,x_m)/a \), e viceversa\(\displaystyle d_2(x_n,x_m)\le b\mathrm{d}_1(x_n,y_m)=b\epsilon \).
(ii) Se \(\displaystyle x_n, y_n \) sono successioni convergenti nello spazio \(\displaystyle (X,d) \), mostrare che \(\displaystyle a_n=\mathrm{d}(x_n,y_n) \) converge. Cosa si può dire se invece \(\displaystyle x_n, y_n \) sono di Cauchy?
Supponendo \(\displaystyle x_n\to x, y_n\to y \), considerato che \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,y_n)\le\mathrm{d}(x_n,x)+\mathrm{d}(x,y)+\mathrm{d}(y,y_n) \), si ha \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,y_n)-\mathrm{d}(x,y)\le \mathrm{d}(x_n,x)+\mathrm{d}(y_n,y)\le \epsilon \), che dimostra la convergenza di \(\displaystyle a_n \) a \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y) \). Fin qui non dovrebbero esserci problemi! Il problema invece sorge nella seconda domanda; sono convinto che ci sia ugualmente convergenza ma non riesco a farlo vedere.
(iii) Data la completezza di \(\displaystyle \mathbb{R} \), mostrare che \(\displaystyle \mathbb{C} \) è completo.
Anche qui ho un dubbio: infatti data la completezza di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) è possibile identificare il modulo complesso con la norma euclidea, e quindi la struttura di spazio metrico indotta da tale norma su \(\displaystyle \mathbb{C} \) è identica a quella di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), pertanto lo spazio è completo. Ma conoscendo solo la completezza della retta reale questo ragionamento non si può fare, perché non credo sia tanto banale dedurre la completezza dello spazio euclideo di dimensione arbitraria da quello di dimensione uno. C'è un modo facile per rispondere senza passare da questa dimostrazione?
Risposte
conoscendo solo la completezza della retta reale questo ragionamento non si può fare, perché non credo sia tanto banale dedurre la completezza dello spazio euclideo di dimensione arbitraria da quello di dimensione uno.
E', invece, abbastanza banale dimostrare che se \(\{(X_i,d_i)\mid i = 1,..,n\}\) è una famiglia finita di spazi metrici completi, completo è anche il prodotto \(\prod_{i=1}^n X_i\) rispetto alla metrica prodotto \(\Pi d\) che manda \(\vec x, \vec y\) in \(\max\{d_i(x_i, y_i)\}\) (\(\Pi d\) non è l'unica scelta per una metrica su \(\prod X_i\), ma le metriche ottenute negli altri modi saranno equivalenti a questa). E non è finita qui! Facendo un po' più di fatica si riesce anche a dimostrare qualcosa nel caso di un prodotto infinito.
"Lèo":
(ii) Se \(\displaystyle x_n, y_n \) sono successioni convergenti nello spazio \(\displaystyle (X,d) \), mostrare che \(\displaystyle a_n=\mathrm{d}(x_n,y_n) \) converge. Cosa si può dire se invece \(\displaystyle x_n, y_n \) sono di Cauchy?
Supponendo \(\displaystyle x_n\to x, y_n\to y \), considerato che \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,y_n)\le\mathrm{d}(x_n,x)+\mathrm{d}(x,y)+\mathrm{d}(y,y_n) \), si ha \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,y_n)-\mathrm{d}(x,y)\le \mathrm{d}(x_n,x)+\mathrm{d}(y_n,y)\le \epsilon \), che dimostra la convergenza di \(\displaystyle a_n \) a \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y) \). Fin qui non dovrebbero esserci problemi! Il problema invece sorge nella seconda domanda; sono convinto che ci sia ugualmente convergenza ma non riesco a farlo vedere.
Guarda: detto $d_n := d(x_n,y_n)$, per la disuguaglianza triangolare si ha
\[
d_n \le d(x_n, x_m) + d_m + d(y_m,y_n)
\] e ora che si fa?
Si fa \(\displaystyle d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)\le d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m)\le 2\epsilon \), che implica \(\displaystyle d(a_n,a_m)\to 0 \) e quindi che \(\displaystyle a_n \) è di Cauchy?
Sì, c'è qualche modulo qua e là (chi è più grande tra $d_n$ e $d_m$?) ma l'idea è questa.
Ottimo. Mi ero convinto però che nell'ipotesi \(\displaystyle x_n, y_n \) di Cauchy si possa dimostrare che \(\displaystyle a_n \) sia convergente. E' una cosa vera o me la sto sognando?
"Lèo":
Ottimo. Mi ero convinto però che nell'ipotesi \(\displaystyle x_n, y_n \) di Cauchy si possa dimostrare che \(\displaystyle a_n \) sia convergente. E' una cosa vera o me la sto sognando?
Beh, \(a_n\) converge a \(d(x,y)\) quando \(x_n\to x, y_n\to y\), e le convergenti sono di Cauchy; ma le Cauchy non sono convergenti (devi supporre di stare in uno spazio completo). Quindi può benissimo essere che (ad esempio) \(x_n, y_n\) non convergano in \(X\), e siano di Cauchy; allora \(a_n\) è di Cauchy ma non converge nell'insieme di valori assunti dalla metrica.
Penso che il massimo che puoi dire è che nel completamento la metrica estesa \(\overline d : \overline{X}\times\overline{X}\to [0,\infty)\) è tale che \(a_n \xrightarrow{n\to \infty} \overline d(x,y)\) dove \(x,y\) sono i limiti di \(x_n, y_n\) che hai aggiunto in \(\overline X\).
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