Successioni divergenti

[lasroye]

Sapendo che ogni successione divergente positivamente non è limitata superiormente ma è limitata inferiormente

Volevo sapere se è vero il contrario (con una dimostrazione) cioè se si può dire che una successione limitata inferiormente e non limitata superiormente è divergente?

Grazie

[Frink1]

Direi di sì. Pensa ad una successione a termini positivi (quindi limitata inferiormente). Come lo dimostreresti?

[lasroye]

l'ho chiesto perchè negli appunti del mio professore stava indicata come condizione sufficiente ma non necessaria:

[Frink1]

Dipende dalla definizione che dai di divergenza.

Io l'ho intesa come $ neg $converge. Con le ipotesi che dai tu, sei certo che la successione NON converga. Ma non sei certo che "diverga positivamente", tenda all'infinito, per così dire. Riesci a dimostrare che non converge?

Il tuo professore ha già fornito un valido controesempio per la divergenza positiva, ma puoi provare quanto sopra...

[lasroye]

Il problema è che non riesco a capire l'esempio:
an = n se n è pari
an = (1/n) se n è dispari

la prima dovrebbe essere divergente positivamente, mentre la seconda dovrebbe essere convergente a 0, giusto?

[Frink1]

Quello che dici è corretto, ma non è $a_n$ a divergere positivamente o a convergere, sono le sue due sottosuccessioni, rispettivamente per $n$ pari e $n$ dispari. La successione $a_n$, per $n->oo$ oscilla tra valori molto alti (per $n$ pari appunto) e valori prossimi allo $0$ (per $n$ dispari).

[lasroye]

Grazie, credo di aver capito. Quindi la successione $ a_n $ è una successione non regolare nonostante sia una successione limitata inferiormente e non limitata superiormente e questo basta per dimostrare che l'ipotesi del teorema è una condizione non necessaria