Successioni di funzioni in uno spazio di Banach.

Yuyu_13
Buonasera.
Sto studiando le serie di funzioni, in particolare il criterio di Cauchy uniforme, dove
La serie di funzione $sum_(n=0)^(+ infty) f_n(x)$ converge uniformemente in $I$ se, per ogni $epsi>0 exists $ $nu_(epsi) in NN$ tale che
$|f_(n+1)(x)+...+f_(n+p)(x)|nu_(epsi)$, $forall p in NN$, $forall x in I$.

Viene detto : in molte applicazioni le funzioni $f_n$ sono elementi di uno spazio di Banach, allora il criterio di Cauchy prende la forma seguente:
fissato $epsi>0$ $exists nu_(epsi) in NN$ tale che
$|f_(n+1)+...+f_(n+p)|nu_(epsi)$, $forall p in NN$.

Non ho capito come avviene questa 'trasformazione' cioè come la successione di funzioni diventerebbe una successione numerica. Perché ?

Risposte
pilloeffe
Ciao Yuyu_13,
"Yuyu_13":
Perché ?

Probabilmente perché viene calcolata per un certo $x$ assegnato... :wink:
Se ci fai caso le due definizioni sono identiche, ma nella seconda scompare il "$\AA x \in I $"

Yuyu_13
Ciao pilloeffe, si sono d'accordo su quelli che dici tu che la variabile $x$ scompare.
La mia domanda è un'altra, hai ragione, come sempre sbaglio a fare le domande :)
La mia domanda è perché se siamo in uno spazio di Banach scompare la variabile $x$ ?

dissonance
Nella seconda formula, \(\lvert\cdot\rvert\) dovrebbe essere scritto \(\lVert \cdot\rVert_\infty\). In questo modo, diventa una condizione equivalente a quella della prima formula.

Una volta osservato che il criterio di Cauchy si puó scrivere con la norma infinito, uno puó osservare che, in effetti, si poteva considerare una norma qualsiasi.

Yuyu_13
@dissonance
Forse ho capito cosa vuoi dirmi. Su $RR^n$ tutte le norme sono fra loro equivalenti. Una volta osservato questo, si ha che se due norme \( \lVert \cdot\rVert_1 \) e \( \lVert \cdot\rVert_2\) su $X$ sono fra loro equivalenti, una successione $x_k$ converge verso $x in X$ nella norma \( \lVert \cdot\rVert_1 \) se e solo se converge verso $x in X$ nella norma \( \lVert \cdot\rVert_2 \).

Quindi
"dissonance":
Una volta osservato che il criterio di Cauchy si puó scrivere con la norma infinito, uno puó osservare che, in effetti, si poteva considerare una norma qualsiasi.
questo mi torna
Questo vuoi dirmi? Infine, se è questo quello che vuoi dirmi, non capisco perché da questo, si ha la scomparsa :-D di $x$

ghira1
In uno spazio di Banach, $|f|$ è un numero.

dissonance
"Yuyu_13":
@dissonance
Forse ho capito cosa vuoi dirmi. Su $RR^n$ tutte le norme sono fra loro equivalenti. Una volta osservato questo, si ha che se due norme \( \lVert \cdot\rVert_1 \) e \( \lVert \cdot\rVert_2\) su $X$ sono fra loro equivalenti, una successione $x_k$ converge verso $x in X$ nella norma \( \lVert \cdot\rVert_1 \) se e solo se converge verso $x in X$ nella norma \( \lVert \cdot\rVert_2 \).

No, non é questo.

si ha la scomparsa :-D di $x$

Dire che
\[
\lvert g(x)\lvert \le \epsilon,\quad \forall x \in I\]
é la stessa cosa che
\[
\lVert g\rVert_\infty \le \epsilon, \]
dove \(\lVert g \rVert_\infty = \sup\{ \lvert g(x)\rvert\ :\ x\in I\}\). Applica questo ragionamento con \(g=f_{n+1}+\ldots+f_{n+p}\) e dovrebbe essere chiaro come é scomparsa la \(x\).

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