Successioni di funzioni-esercizio con intervallo in termini di successione

[p.v.141]

Buongiorno

Ho il seguente esercizio:

Siano $a, b \in R$ e

\(\displaystyle f_n(x)=\begin{cases} a, & \mbox{se }x \in (0,1/n) \\ b, & \mbox{se }x \in (1/n,1)
\end{cases} \)

Mi chiede di determinare il limite puntuale, e sotto quali condizioni risulti la convergenza uniforme.

Lo svolgimento sul libro per determinare il limite puntuale è il seguente:
Se $x \in (0,1)$ allora per ogni $n>1/x$ implica che $1/n Segue che la successione converge puntualmente alla funzione identicamente costante a $b$.

Perché ? Non si dovrebbe provare con la definizione $(\epsilon,n_\epsilon)$?
Vorrei provare ma non so proprio da dove iniziare

Invece, la convergenza uniforme è semplice una volta individuato il limite puntuale, infatti, supponendo che io abbia capito, allora una volta determinato il

$\mbox^{_{x \in (0,1)}{|f_n-f|}=|a-b|$}

si ha

$lim_(n \to + \infty)\mbox^{_{x \in (0,1)}{|f_n-f|} =0 \leftrightarrow |a-b|=0 \leftrightarrow a=b $}

Cioè c'è convergenza uniforme quando $a=b$, no altrimenti.

Saluti

[marco2132k]

Sì beh devi solo far vedere che
\[
\lim_{n\to \infty}f_n(x) = b
\] al variare di \( x\in \left]0,1\right[ \). Non è difficile, appunto: se \( n \) è abbastanza grande hai che \( f_n(x) = b \). Quanto grande dev'essere \( n \)? Beh, deve valere che
\[
\frac{1}{n} < x
\] quindi fatti due conti.

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Ciao marco2132k, grazie per la risposta.

Ricordo la definizione di convergenza puntuale. Sia $(f_n)$ successione di funzioni reali definita in $Isubseteq\mathbb[R}.$

Si dice che $(f_n)$ converge puntualmente in $I$ ad $f : I to \mathbb{R}$ se $forall epsilon >0, forall x in I, exists n_(\epsilon, x)$ tale che

$|f_n(x)-f(x)|n_(\epsilon, x)$

L'indice $n_(\epsilon, x)$ deve essere, dipende da due parametri $\epsilon, x$. Sappiamo che $forall x \in (0,1), exists n \in \mathbb{N} $ tale che $n>1/x $.
Quindi, per ogni $epsilon>0$ e per ogni $n>1/x$, abbiamo determinato $n_(\epsilon, x)$, ciò comporta $lim_(n to + infty) f_n(x)=b$.

Questo è lo svolgimento corretto marco2132k ?