Successioni di funzioni, convergenza e classi $C^k$

[angus89]

A lezione abbiamo dimostrato i seguenti teoremi
Sia [tex]f_n: A \rightarrow R[/tex]
Se [tex]f_n \rightarrow f[/tex] uniformente e si ha [tex]f_n[/tex] sono continue allora [tex]f[/tex] è continua.
Se [tex]f_n \rightarrow f[/tex] uniformente e si ha [tex]f_n[/tex] sono derivabili allora [tex]f[/tex] è derivabile.

Mi chiedo se esista un teorema che mi permetta di estendere
Se [tex]f_n \rightarrow f[/tex] uniformente e si ha [tex]f_n \in C^k (a)[/tex] allora [tex]f \in C^k[/tex].

[gac1]

Non può esistere dal momento che anche questo è falso:

"angus89":
Se [tex]f_n \rightarrow f[/tex] uniformente e si ha [tex]f_n[/tex] sono derivabili allora [tex]f[/tex] è derivabile.

Esempio: $f_n(x) = \sqrt{x^2+1/n}$.

[angus89]

ops...ho saltato un'ipotesi, o per lo meno l'ho proprio dimenticata...
Deve essere che
[tex]f_n \rightarrow f[/tex] uniformente
[tex]f'_n \rightarrow g[/tex] uniformente
allora [tex]f'=g[/tex]

Va be a parte questa mia gaff, è possibile estendere?
Mi spiego meglio

[tex]f_n \rightarrow f[/tex] uniformente
[tex]f^{(k)}_n \rightarrow g[/tex] uniformente
allora [tex]f^{(k)}=g[/tex]

E' valido?

Notazione (non si sa mai)
[tex]f^{(k)}[/tex] è la derivata k-esima

[gac1]

Così è vero.

[gugo82]

In generale vale una cosa un po' più forte.

Se [tex]$(f_n) \subseteq C^k(I)$[/tex] è tale che esistono [tex]$k$[/tex] punti [tex]$x_0,\ldots ,x_{k-1} \in I$[/tex] ([tex]$I \subseteq \mathbb{R}$[/tex] intervallo aperto) per cui:

[tex]$\forall h \in \{ 0,\ldots ,k-1\} , \left( f_n^{(h)}(x_h) \right) \text{ converge (come successione numerica)}$[/tex]

e se [tex]$f_n^{(k)} \stackrel{u}{\to} g \text{ in $I$}$[/tex], allora [tex]$(f_n)$[/tex] converge uniformemente in [tex]$I$[/tex] verso una funzione di classe [tex]$f\in C^k(I)$[/tex] e ogni successione [tex]$(f_n^{(h)})$[/tex] converge uniformemente verso [tex]$f^{(h)}$[/tex] in [tex]$I$[/tex] per [tex]$h=0,\ldots ,k$[/tex].