[Successioni di funzioni] aiuto....

vinc_89
Ciao a tutti.
Mi sento davvero disperato...E' più di due giorni che sono fermo su quest'argomento.Ho le idee un po confuse.
Se ho convergenza puntuale la mia x è un parametro che puo variare all'interno del dominio di definizione.
Ora mi sto trovando in difficolta cn gli esercizi, tipo questo:
$fn(x)=(x)^(-n)$ con $ in <]1,+oo[ >$
sulla convergenza puntuale diciamo che ci sono, ma su quella uniforme no, perche mi chiedo non essendo compatto non vale il terorema di waierstrass, non ho massimo, ma il mio estremo superiore in questo caso è 1?????
Qualcuno potrebbe dirmi un sito per trovare degli ottimi esercizi svolti?

Risposte
Antimius
Per il sito, lascio che siano altri a consigliartene perché non ne conosco.
Comunque considerando che in quell'intervallo la funzione $f_n(x)=1/x^n$ è strettamente decrescente, l'estremo superiore è $f_n(1)=1$. Perciò in tale intervallo la successione non può tendere uniformemente a $0$.
In effetti, se pensi alle funzioni $f_n(x)$ ti accorgi che al crescere di $n$ esse sono iperboli che si schiacciano sempre più verso il basso, ma sull'$1$ rimangono fisse. Quindi diciamo non si abbassa tutto assieme il grafico. Però prendendo un intervallo $(a,+\infty)$ con $a>1$ ottieni convergenza uniforme. Cerca di capire intuitivamente la cosa e poi di dimostrarlo formalmente. Se ti serve aiuto, scrivi qui :-)

vinc_89
ti ringrazio antimius, diciamo che sto cercandi di capire meglio.....
Invece su quest'altro esempio non riesco a capire in che modo riesce a fare quei ragionamenti sulla n e sulla x(la parte segnata in rosso). In 0 ho capito, perche comunque banale, se la mia x assume il valore 0(che posso dare come valore in quanto contenuto all'interno del dominio di definizione).

Antimius
Se ci fai caso all'aumentare di $n$ il grafico (la "v rovesciata") si sposta sempre più verso sinistra. Quindi, se fissi una $x$ strettamente positiva, puoi fare in modo che essa cada a destra della "v rovesciata", dove $f_n(x)=0$. Il fatto di scegliere $n$ abbastanza grande non è un problema. Anzi, tu stai proprio calcolando il limite per $n \to + \infty$, quindi l'importante è capire come si comporta definitivamente (dopo un certo indice $n_0$) la tua $f_n(x)$.

vinc_89
Graficamente ho capito.....Mi chiedo pero in che modo si possa avere un riscontro pratico in fromule quel ragionamento di n e x. Perche se non avessi avuto il grafico non sarei riuscito nemmeno a capirlo.

Antimius
Beh ad esempio qui te ne potevi accorgere perché $lim_{n \to + \infty} 2/n = 0$. Quindi p.o. $x>0$ esiste un indice $n_0$ tale che $n>=n_0 \Rightarrow x>2/n$.
In ogni caso, guardando a occhio l'intervallo $(1/n,2/n)$ dovresti accorgerti che si sposta sempre più verso lo $0$. Sai che $f_n(x)=0$ per $x>2/n$, quindi basta prendere $n$ sufficientemente grande. Non è necessario guardare il grafico, anche se aiuta. Magari abbozzane uno se può aiutarti le prime volte.

vinc_89
Non riesco a capire come riesci a fare questa considerazione:
"Sai che $f_n(x)=0$, per ogni $x>2/n$". Mi accorgo che prendendo un $n$ sempre più grande la quantita $1/n$ tende a zero. So che il $f_n(0)=0"$ quindi $f(x)=0$. Ma se fisso un $ x $ per esempio $ bar (x) $ studio il limite, $ lim_(n -> oo )f_n( bar(x) )=??? $ e da qui non riesco più a capire come farlo, perche ci sono quei tre intervalli. Allora mi chiedo bisogna studiarli nei diversi intervalli oppure guardo come si comportano gli indici nell'intervallo? Sto impazzendo, forse mi faccio troppi problemi. Non riesco a capire come fare quei ragionamenti sulle x, perchè so che il termine $1/n->0$ per $n-> oo $ . Ufffffffffffff.

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