Successioni di funzioni
Buonasera,ho dei problemi riguardo al calcolo della convergenza uniforme delle successioni.
Ho capito la definizione ma praticamente non riesco.
Esempio.
Ho questa successione che ha insieme di definizione $ I=[0,+oo) $
$ fn(x)=(nx)/(1+n^3x^3) $
Per quanto riguarda la confergenza puntuale mi studio il limite
$ lim_(n -> +oo ) =(nx)/(1+n^3x^3) $
e mettendo n in evidenza mi viene
$ 1/n^2 $
Quindi converge per ogni x appartenente a I.
Adesso come studio la convergenza uniforme?
grazie.
Ho capito la definizione ma praticamente non riesco.
Esempio.
Ho questa successione che ha insieme di definizione $ I=[0,+oo) $
$ fn(x)=(nx)/(1+n^3x^3) $
Per quanto riguarda la confergenza puntuale mi studio il limite
$ lim_(n -> +oo ) =(nx)/(1+n^3x^3) $
e mettendo n in evidenza mi viene
$ 1/n^2 $
Quindi converge per ogni x appartenente a I.
Adesso come studio la convergenza uniforme?
grazie.
Risposte
Intanto nota che per $x=0$ il limite viene 1 e non 0, il che non compromette la convergenza puntuale ma con l'uniforme è un altro paio di maniche.?
Se prendi un intervallo J compatto in $(0,\infty)$, vedrai che riesci a maggiorare $Sup_J |f_n|$ con una serie convergente, ottieni la convergenza totale e quindi uniforme.
Un buono strumento è anche il criterio di Weierstrass
Paola
Se prendi un intervallo J compatto in $(0,\infty)$, vedrai che riesci a maggiorare $Sup_J |f_n|$ con una serie convergente, ottieni la convergenza totale e quindi uniforme.
Un buono strumento è anche il criterio di Weierstrass
Paola
paola scusa ma se sostituisco $ X=0 $ non viene:
$ 0/1 $ e quindi $ 0 $ ?
$ 0/1 $ e quindi $ 0 $ ?
sì sono io che mi rincoglionisco invecchiando! 
Paola
Paola
XD no figurati .
allora sul libro ho visto che la convergenza uniforme viene trattata in questo modo.
1)viene studiata la derivata prima e il punto in cui si annulla in questo caso:
$ f'(x)=(n(1-2n^(3)x^(3)))/(1+n^3x^3) $
$ f'(x)=0 <=> x=1/(2n)^(1/3) $
e in quel punto la successione vale:
$ fn=2/(3(2^(1/3))) $
e quindi converge in uniformemente in ogni intervallo $ [del ,+oo ) $ con $ del>0 $
il problema è che non ho capito perchè fà questo procedimento,va a studiare il max o min della funzione e poi il sup.
Qualcuno potrebbe spiegarmi meglio? grazie.
allora sul libro ho visto che la convergenza uniforme viene trattata in questo modo.
1)viene studiata la derivata prima e il punto in cui si annulla in questo caso:
$ f'(x)=(n(1-2n^(3)x^(3)))/(1+n^3x^3) $
$ f'(x)=0 <=> x=1/(2n)^(1/3) $
e in quel punto la successione vale:
$ fn=2/(3(2^(1/3))) $
e quindi converge in uniformemente in ogni intervallo $ [del ,+oo ) $ con $ del>0 $
il problema è che non ho capito perchè fà questo procedimento,va a studiare il max o min della funzione e poi il sup.
Qualcuno potrebbe spiegarmi meglio? grazie.
E' una semplice questione di definizione. Una successione di funzioni [tex]$\{f_n(x)\},\ f_n:X\to Y$[/tex] converge uniformemente su [tex]$X$[/tex] se, detto [tex]$f(x)=\lim_{n\to+\infty} f_n(x),\ \forall\ x\in X$[/tex] il limite puntuale, la successione (numerica) [tex]$a_n=\sup_{x\in X}\left|f_n(x)-f(x)\right|$[/tex] risulta infinitesima (cioè [tex]$\lim_{n\to+\infty} a_n=0$[/tex]. Nel tuo caso, osserva che
[tex]$\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|\frac{n x}{1+n^3 x^3}\right|=\frac{n x}{1+n^3 x^3}=f_n(x),\ x\in[0,+\infty)$[/tex]
Per calcolare l'estremo superiore, basta studiare la monotonia di questa funzione rispetto alla [tex]$x$[/tex]: per farlo, calcola la derivata ottenendo
[tex]$f'_n(x)=\frac{n(1+n^3 x^3-3n^3 x^3)}{(1+n^3 x^3)^2}=\frac{n(1-2n^3 x^3)}{(1+n^3 x^3)^2}$[/tex]
da cui ricava il punto di massimo (che coincide con il punto dove si trova l'estremo superiore) [tex]$x=\frac{1}{n\sqrt[3]{2}}$[/tex] e quindi
[tex]$a_n=\sup_{x\in [0,+\infty)}\left|f_n(x)-f(x)\right|=\max_{x\in [0,+\infty)} f_n(x)=f_n\left(\frac{1}{n\sqrt[3]{2}}\right)=\frac{2}{3\sqrt[3]{2}}$[/tex]
per cui la successione risulta costante e non infinitesima, ergo la successione non converge uniformemente.
[tex]$\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|\frac{n x}{1+n^3 x^3}\right|=\frac{n x}{1+n^3 x^3}=f_n(x),\ x\in[0,+\infty)$[/tex]
Per calcolare l'estremo superiore, basta studiare la monotonia di questa funzione rispetto alla [tex]$x$[/tex]: per farlo, calcola la derivata ottenendo
[tex]$f'_n(x)=\frac{n(1+n^3 x^3-3n^3 x^3)}{(1+n^3 x^3)^2}=\frac{n(1-2n^3 x^3)}{(1+n^3 x^3)^2}$[/tex]
da cui ricava il punto di massimo (che coincide con il punto dove si trova l'estremo superiore) [tex]$x=\frac{1}{n\sqrt[3]{2}}$[/tex] e quindi
[tex]$a_n=\sup_{x\in [0,+\infty)}\left|f_n(x)-f(x)\right|=\max_{x\in [0,+\infty)} f_n(x)=f_n\left(\frac{1}{n\sqrt[3]{2}}\right)=\frac{2}{3\sqrt[3]{2}}$[/tex]
per cui la successione risulta costante e non infinitesima, ergo la successione non converge uniformemente.
interessante
ti ringrazio ciampax
ti ringrazio ciampax
Prego.
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