Successioni di funzioni

anto84gr-votailprof
Ciao ragazzi, mi aiutate con le successioni di funzioni?In particolare non riesco a capire una cosa:
se per esempio ho [tex]f_n(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]

[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox x \in [-n, n] \\ 0 & \mbox x \notin [-n, n] \end{matrix}\right.[/tex]

perchè nello studiare la convergenza puntuale mi ritrovo a fare



[tex]\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty } f_n(x) = 1[/tex]

Perchè non è zero!!!!

Risposte
misanino
Devi studiare la convergenza puntuale.
Perciò devi fissare $x$.
Ora, fissato $x$ esiste certamente N tale che $AAn>N$ si ha $x\in [-n,n]$.
Ma allora, per definizione, $AA n>N$ si ha $f_n(x)=1$ e quindi il limite per $n rarr \infty$ di $f_n(x)$ è 1

anto84gr-votailprof
E invece in quest'altro esercizio

[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{x} & \mbox x \in (0, 1/n) \\ {1/\sqrt{x} } & \mbox x \in [1/n, 1] \end{matrix}\right.[/tex]

dove l'intervallo è diverso?

Spiegatemi bene passo passo x favore

GRAZIE

misanino
Se $n$ tende a $\infty$, allora $1/n$ tende a 0.
Quindi per $x$ fissato, $x!=0$ esiste $N$ abbastanza grande tale che $AA n>N$ si ha $x>1/n$ e quindi hai che $AA n>N$ $f_n(x)=1/sqrt(x)$.
Quindi se $x!=0$ $f_n(x)$ converge puntualmente a $1/sqrt(x)$.
In 0 invece ....

Se non capisci poi te lo spiego meglio.
Ora devo scappare a lezione

anto84gr-votailprof
E allora perchè se per

[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} x-1/n & \mbox x \in [1/n, 2/n] \\ (3/n)-x & \mbox x \in [2/n, 3/n] \\ 0 & \mbox x \in [0,1] \end{matrix}\right.[/tex]


[tex]f(x)= 0[/tex]

se per

[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 1-(x/n) & \mbox x \in [0, 1] \\ 0 & \mbox x > n \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]f_n(x)=1[/tex]

per questa

[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox x \in [0, 1/n) \\ (x-(1/n))^3 & \mbox x \in [1/n, 1] \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]f_n(x)=x^3[/tex]

invece che 0???

misanino
"anto84gr":
E allora perchè se per

[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} x-1/n & \mbox x \in [1/n, 2/n] \\ (3/n)-x & \mbox x \in [2/n, 3/n] \\ 0 & \mbox x \in [0,1] \end{matrix}\right.[/tex]


[tex]f(x)= 0[/tex]



Questa non ha senso.
Infatti non è una funzione perchè non associa ad un punto di [0,1] un unico valore.
Infatti gli intervalli $[1/n,2/n]$ e $[2/n,3/n]$ sono in [0,1] per $n>=3$ e quindi la tua funzione è definita in modi diversi sullo stesso punto!!
C'è certamente un errore nel testo

anto84gr-votailprof
L'esercizio è:

$ f_n(x)=x-1/n x in [1/n, 2/n) 3/n-x x in [2/n, 3/n], 0 x in [0,1] $


E risulta convergente uniformemente a f(x)=0

anto84gr-votailprof
Mi scuso per la scrittura ma da ieri è cambiato!!!!

misanino
E ti ripeto che non ha senso!
Ci deve essre un errore.
Prendiamo infatti $n>=3$ e voglio calcolare $f(2/n)$.
Ora $2/n \in [2/n,3/n)$ e quindi uso la 2° riga di $f$ e ho $f(2/n)=3/n-2/n=1/n$
Ma $2/n \in [0,1]$ e quindi uso anche la 3° riga di $f$ e ho $f(2/n)=0$.
C0me può quindi essere che $f(2/n)=1/n!=0$ e $f(2/n)=0$?
Questa non è una funzione

anto84gr-votailprof
Boh, sarà un errore del testo!!!!

Mi sai dire della terza funzioe che tiho messo????

Grazie mille

misanino
Se n tende ad infinito, allora $1/n$ tende a 0.
Quindi fissato $x$ esiste $n$ abbastanza grande tale che $x>1/n$, cioè $x\in[1/n,1]$ e quindi devi guardare la seconda espressione di $f$ cioè $(x-1/n)^3$.
Poi come già detto $1/n$ tende a 0 e quindi la funzione tende a $(x-0)^3=x^3$

anto84gr-votailprof
Ok grazie mille...sei stato di grande aiuto!!!

anto84gr-votailprof
Ciao misanino, scusa se rompo sempre ma posso sapere più generalmente questa cosa qua???

Se n tende a ∞, allora 1n tende a 0.
Quindi per x fissato, x≠0 esiste N abbastanza grande tale che ∀n>N si ha x>1n e quindi hai che ∀n>N fn(x)=1x.


E se invece che essere 1/n fosse n come dovrei comportarmi!!!Cioè

f_n(x)=\[\begin{sistema} 0\ \ x\in [0, n]\\ (x-n)^2 \ \ x \in (n, \infty ) \end{sistema}\]

Grazie grazie grazie

misanino
Scrivi con le formule.
Altrimenti la cosa comincia a diventare incomprensibile.
Se non sei capace guarda qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

anto84gr-votailprof

Se n tende ad infinito, allora $1/n$ tende a 0.
Quindi fissato x esiste n abbastanza grande tale che x > $1/n$, cioè $x \in [1/n, 1]$ e quindi devi guardare la seconda espressione di f cioè (x-1/n)^3


Mi puoi dire la definizione più generale?

Anche perchè se io ho n invece di 1/n tipo:

[tex]$f_n(x)={(0 \ if x \in [0, n],
(x-n)^2 \ if x \in [n, \infty ))}$[/tex]

come mi devo comportare??
E poi la convergenza uniforme?

misanino
In tal caso se fissi $x$ allora esiste $n$ abbastanza grande tale che $x Perciò $x\in [0,n]$ e quindi devi usare la prima espressione di $f$ e quindi $f(x)=0$ e quindi $f$ tende puntualmente a 0

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.