Successioni di funzioni
Ciao ragazzi, mi aiutate con le successioni di funzioni?In particolare non riesco a capire una cosa:
se per esempio ho [tex]f_n(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox x \in [-n, n] \\ 0 & \mbox x \notin [-n, n] \end{matrix}\right.[/tex]
perchè nello studiare la convergenza puntuale mi ritrovo a fare
[tex]\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty } f_n(x) = 1[/tex]
Perchè non è zero!!!!
se per esempio ho [tex]f_n(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox x \in [-n, n] \\ 0 & \mbox x \notin [-n, n] \end{matrix}\right.[/tex]
perchè nello studiare la convergenza puntuale mi ritrovo a fare
[tex]\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty } f_n(x) = 1[/tex]
Perchè non è zero!!!!
Risposte
Devi studiare la convergenza puntuale.
Perciò devi fissare $x$.
Ora, fissato $x$ esiste certamente N tale che $AAn>N$ si ha $x\in [-n,n]$.
Ma allora, per definizione, $AA n>N$ si ha $f_n(x)=1$ e quindi il limite per $n rarr \infty$ di $f_n(x)$ è 1
Perciò devi fissare $x$.
Ora, fissato $x$ esiste certamente N tale che $AAn>N$ si ha $x\in [-n,n]$.
Ma allora, per definizione, $AA n>N$ si ha $f_n(x)=1$ e quindi il limite per $n rarr \infty$ di $f_n(x)$ è 1
E invece in quest'altro esercizio
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{x} & \mbox x \in (0, 1/n) \\ {1/\sqrt{x} } & \mbox x \in [1/n, 1] \end{matrix}\right.[/tex]
dove l'intervallo è diverso?
Spiegatemi bene passo passo x favore
GRAZIE
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{x} & \mbox x \in (0, 1/n) \\ {1/\sqrt{x} } & \mbox x \in [1/n, 1] \end{matrix}\right.[/tex]
dove l'intervallo è diverso?
Spiegatemi bene passo passo x favore
GRAZIE
Se $n$ tende a $\infty$, allora $1/n$ tende a 0.
Quindi per $x$ fissato, $x!=0$ esiste $N$ abbastanza grande tale che $AA n>N$ si ha $x>1/n$ e quindi hai che $AA n>N$ $f_n(x)=1/sqrt(x)$.
Quindi se $x!=0$ $f_n(x)$ converge puntualmente a $1/sqrt(x)$.
In 0 invece ....
Se non capisci poi te lo spiego meglio.
Ora devo scappare a lezione
Quindi per $x$ fissato, $x!=0$ esiste $N$ abbastanza grande tale che $AA n>N$ si ha $x>1/n$ e quindi hai che $AA n>N$ $f_n(x)=1/sqrt(x)$.
Quindi se $x!=0$ $f_n(x)$ converge puntualmente a $1/sqrt(x)$.
In 0 invece ....
Se non capisci poi te lo spiego meglio.
Ora devo scappare a lezione
E allora perchè se per
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} x-1/n & \mbox x \in [1/n, 2/n] \\ (3/n)-x & \mbox x \in [2/n, 3/n] \\ 0 & \mbox x \in [0,1] \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]f(x)= 0[/tex]
se per
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 1-(x/n) & \mbox x \in [0, 1] \\ 0 & \mbox x > n \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]f_n(x)=1[/tex]
per questa
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox x \in [0, 1/n) \\ (x-(1/n))^3 & \mbox x \in [1/n, 1] \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]f_n(x)=x^3[/tex]
invece che 0???
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} x-1/n & \mbox x \in [1/n, 2/n] \\ (3/n)-x & \mbox x \in [2/n, 3/n] \\ 0 & \mbox x \in [0,1] \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]f(x)= 0[/tex]
se per
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 1-(x/n) & \mbox x \in [0, 1] \\ 0 & \mbox x > n \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]f_n(x)=1[/tex]
per questa
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox x \in [0, 1/n) \\ (x-(1/n))^3 & \mbox x \in [1/n, 1] \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]f_n(x)=x^3[/tex]
invece che 0???
"anto84gr":
E allora perchè se per
[tex]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} x-1/n & \mbox x \in [1/n, 2/n] \\ (3/n)-x & \mbox x \in [2/n, 3/n] \\ 0 & \mbox x \in [0,1] \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]f(x)= 0[/tex]
Questa non ha senso.
Infatti non è una funzione perchè non associa ad un punto di [0,1] un unico valore.
Infatti gli intervalli $[1/n,2/n]$ e $[2/n,3/n]$ sono in [0,1] per $n>=3$ e quindi la tua funzione è definita in modi diversi sullo stesso punto!!
C'è certamente un errore nel testo
L'esercizio è:
$ f_n(x)=x-1/n x in [1/n, 2/n) 3/n-x x in [2/n, 3/n], 0 x in [0,1] $
E risulta convergente uniformemente a f(x)=0
$ f_n(x)=x-1/n x in [1/n, 2/n) 3/n-x x in [2/n, 3/n], 0 x in [0,1] $
E risulta convergente uniformemente a f(x)=0
Mi scuso per la scrittura ma da ieri è cambiato!!!!
E ti ripeto che non ha senso!
Ci deve essre un errore.
Prendiamo infatti $n>=3$ e voglio calcolare $f(2/n)$.
Ora $2/n \in [2/n,3/n)$ e quindi uso la 2° riga di $f$ e ho $f(2/n)=3/n-2/n=1/n$
Ma $2/n \in [0,1]$ e quindi uso anche la 3° riga di $f$ e ho $f(2/n)=0$.
C0me può quindi essere che $f(2/n)=1/n!=0$ e $f(2/n)=0$?
Questa non è una funzione
Ci deve essre un errore.
Prendiamo infatti $n>=3$ e voglio calcolare $f(2/n)$.
Ora $2/n \in [2/n,3/n)$ e quindi uso la 2° riga di $f$ e ho $f(2/n)=3/n-2/n=1/n$
Ma $2/n \in [0,1]$ e quindi uso anche la 3° riga di $f$ e ho $f(2/n)=0$.
C0me può quindi essere che $f(2/n)=1/n!=0$ e $f(2/n)=0$?
Questa non è una funzione
Boh, sarà un errore del testo!!!!
Mi sai dire della terza funzioe che tiho messo????
Grazie mille
Mi sai dire della terza funzioe che tiho messo????
Grazie mille
Se n tende ad infinito, allora $1/n$ tende a 0.
Quindi fissato $x$ esiste $n$ abbastanza grande tale che $x>1/n$, cioè $x\in[1/n,1]$ e quindi devi guardare la seconda espressione di $f$ cioè $(x-1/n)^3$.
Poi come già detto $1/n$ tende a 0 e quindi la funzione tende a $(x-0)^3=x^3$
Quindi fissato $x$ esiste $n$ abbastanza grande tale che $x>1/n$, cioè $x\in[1/n,1]$ e quindi devi guardare la seconda espressione di $f$ cioè $(x-1/n)^3$.
Poi come già detto $1/n$ tende a 0 e quindi la funzione tende a $(x-0)^3=x^3$
Ok grazie mille...sei stato di grande aiuto!!!
Ciao misanino, scusa se rompo sempre ma posso sapere più generalmente questa cosa qua???
E se invece che essere 1/n fosse n come dovrei comportarmi!!!Cioè
f_n(x)=\[\begin{sistema} 0\ \ x\in [0, n]\\ (x-n)^2 \ \ x \in (n, \infty ) \end{sistema}\]
Grazie grazie grazie
Se n tende a ∞, allora 1n tende a 0.
Quindi per x fissato, x≠0 esiste N abbastanza grande tale che ∀n>N si ha x>1n e quindi hai che ∀n>N fn(x)=1x.
E se invece che essere 1/n fosse n come dovrei comportarmi!!!Cioè
f_n(x)=\[\begin{sistema} 0\ \ x\in [0, n]\\ (x-n)^2 \ \ x \in (n, \infty ) \end{sistema}\]
Grazie grazie grazie
Scrivi con le formule.
Altrimenti la cosa comincia a diventare incomprensibile.
Se non sei capace guarda qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Altrimenti la cosa comincia a diventare incomprensibile.
Se non sei capace guarda qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Se n tende ad infinito, allora $1/n$ tende a 0.
Quindi fissato x esiste n abbastanza grande tale che x > $1/n$, cioè $x \in [1/n, 1]$ e quindi devi guardare la seconda espressione di f cioè (x-1/n)^3
Mi puoi dire la definizione più generale?
Anche perchè se io ho n invece di 1/n tipo:
[tex]$f_n(x)={(0 \ if x \in [0, n],
(x-n)^2 \ if x \in [n, \infty ))}$[/tex]
come mi devo comportare??
E poi la convergenza uniforme?
In tal caso se fissi $x$ allora esiste $n$ abbastanza grande tale che $x
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