Successioni di funzioni

[bad.alex]

Siano date le due successioni di funzioni:
$(x+ sin (1/n))^2$ e $n^2x/(n^4+x^2)$
Il testo dell'esercizio richiede che per la prima:
occorre caratterizzare gli insiemi X contenuti in R, con X diverso dall'insieme vuoto, nei quali la funzione converge puntualmente.
nella seconda:
la convergenza è puntuale ma non uniforme.
sia X contenuto in R, con X diverso dall'insieme vuoto. Occorre provare che condizione necessaria e sufficiente afffinchè questa successione converga uniformemente in X è che X sia limitato....
Potreste spiegarmeli? perchè ,a dire il vero,...non ho capito nulla vi ringrazio, alex



p.s. chiedo scusa ai lettori per le modifiche apportate sul testo dell'esercizio e sul topic. Sbadatamente ho unito due esercizi diversi. Questa ultima modifica è stata fatta riportando il testo nella versione originale corretta. Scusate ancora. alex

[gugo82]

Per la convergenza puntuale è facile: infatti l'insieme di convergenza puntuale è quello costituito dai numeri reali $x$ per i quali esiste finito il $lim_(nto +oo) f_n(x)$, ossia $C_p={x in RR:quad "esiste il " lim_(n to +oo)f_n(x)}$, e non mi sembra sia tanto difficile determinare per quali $x$ esistono finiti i due limiti:

$lim_(n to +oo) (x+sin(1/n))^2$ e $quad lim_(n to +oo) (n^2x)/(n^4+x^2)$.

Una volta che hai trovato $C_p$ riesci anche a determinare la funzione $f$ che è il limite puntuale delle $f_n$: essa è quella definita ponendo $AA x in C_p, quad f(x)=lim_(n to +oo)f_n(x)$ (questo limite esiste per definizione finito per gli $x$ che stanno in $C_p$, quindi l'assegnazione è buona!).

Ora ti manca determinare l'insieme di convergenza uniforme... questo è un po' più complesso ed è meglio se a quest'ora non mi impelago in queste discussioni.
Domani con più calma sbrighiamo pure questa faccenda. Tu intanto comincia a determinare i $C_p$ e i limiti puntuali delle due successioni assegnate.

[bad.alex]

"Gugo82":Per la convergenza puntuale è facile: infatti l'insieme di convergenza puntuale è quello costituito dai numeri reali $x$ per i quali esiste finito il $lim_(nto +oo) f_n(x)$, ossia $C_p={x in RR:quad "esiste il " lim_(n to +oo)f_n(x)}$, e non mi sembra sia tanto difficile determinare per quali $x$ esistono finiti i due limiti:

$lim_(n to +oo) (x+sin(1/n))^2$ e $quad lim_(n to +oo) (n^2x)/(n^4+x^2)$.

Una volta che hai trovato $C_p$ riesci anche a determinare la funzione $f$ che è il limite puntuale delle $f_n$: essa è quella definita ponendo $AA x in C_p, quad f(x)=lim_(n to +oo)f_n(x)$ (questo limite esiste per definizione finito per gli $x$ che stanno in $C_p$, quindi l'assegnazione è buona!).

Ora ti manca determinare l'insieme di convergenza uniforme... questo è un po' più complesso ed è meglio se a quest'ora non mi impelago in queste discussioni.
Domani con più calma sbrighiamo pure questa faccenda. Tu intanto comincia a determinare i $C_p$ e i limiti puntuali delle due successioni assegnate.

Non ho ben capito la puntuale, uniforme e totale convergenza. Non mi è chiaro l'argomento ( sono ottuso) e già da circa due ore sfoglio libri e cerco di capire e def su internet. niente.
Tuttavia, per provare a svolgere quei due esercizietti, sono partito da qualcosina di semplice:
$sum_(n =1)(e^(nx))/n $ Dovevo determinare l'insieme di convergenza puntuale e uniforme. Posta x=0 si ottiene la serie armonica di termine $1/n$ ce diverge. Le altre condizioni sono per x>0 e la serie diverge, per x<0 la serie converge. Questo è quanto ho capito. Dopo nello svolgimento viene preso in considerazione un insieme A dove
sup$ e^(nx)=e^(na)$ poichè e^na converge allora anche la serie originaria converge totalmente e uniformemente. Di tutto quello che ho svolto ho capito ben poco. E soprattutto: come fare ad applicare quanto semplicemente richiesto alle mie due serie? ti ringrazio gugo82 per essere sempre disponibile...cercherò di trovare qualche altra informazione, magari più semplice, che mi faccia capire almeno il significato di tali convergenze....in attesa di te.alex

[gugo82]

Ohmiodio alex... però scrivi bene i testi degli esercizi, ti prego; altrimenti a chi vuole aiutarti passa proprio la voglia!

Ora il titolo del thread è "Successioni di funzioni" ed i miei suggerimenti erano improntati su quello; però stamattina hai rimaneggiato il testo degli esercizi facendo apparire delle serie di funzioni... Che casino.

Per fare Matematica serve ordine, soprattutto mentale, che si acquisisce studiando e facendo esercizi.
Se non acquisisci questa qualità, difficilmente riuscirai a preparare decentemente un esame di Matematica.

Ad ogni modo $\sum (e^(nx))/n$ è facile: sostituendo $y=e^x$ la tua serie diventa una serie di potenze e precisamente si trasforma in $\sum 1/ny^n$; quest'ultima ha raggio di convergenza uguale ad $1$ (per il Teorema di Cauchy-Hadamard o per uno qualunque dei suoi corollari), quindi converge totalmente per $y in ]-1,1[$; inoltre $\sum1/ny^n$ converge puntualmente in $-1$ (serie armonica alternata) e diverge in $1$ (serie armonica).
Ora che sai che la convergenza è totale per $-10$ hai divergenza perchè l'addendo della serie diverge positivamente.

[bad.alex]

"Gugo82":Ohmiodio alex... però scrivi bene i testi degli esercizi, ti prego; altrimenti a chi vuole aiutarti passa proprio la voglia!

Ora il titolo del thread è "Successioni di funzioni" ed i miei suggerimenti erano improntati su quello; però stamattina hai rimaneggiato il testo degli esercizi facendo apparire delle serie di funzioni... Che casino.

Per fare Matematica serve ordine, soprattutto mentale, che si acquisisce studiando e facendo esercizi.
Se non acquisisci questa qualità, difficilmente riuscirai a preparare decentemente un esame di Matematica.

Ad ogni modo $\sum (e^(nx))/n$ è facile: sostituendo $y=e^x$ la tua serie diventa una serie di potenze e precisamente si trasforma in $\sum 1/ny^n$; quest'ultima ha raggio di convergenza uguale ad $1$ (per il Teorema di Cauchy-Hadamard o per uno qualunque dei suoi corollari), quindi converge totalmente per $y in ]-1,1[$; inoltre $\sum1/ny^n$ converge puntualmente in $-1$ (serie armonica alternata) e diverge in $1$ (serie armonica).
Ora che sai che la convergenza è totale per $-10$ hai divergenza perchè l'addendo della serie diverge positivamente.

gugo....ops...ho fatto io confusione! credendo di rimaneggiare un altro esercizio ho inserito due sommatorie che non c'entrano....era corretto come prima. sistemo tutto. sono mortificato. A furia di andare alla ricerca della soluzione ho perso la ragione e ho cambiato esercizio....mi dispiace. sto riscrivendo correttamente il testo...e definitivamente. Chiedo scusa ai lettori. alex