Successioni di funzioni

[Kroldar]

Come è noto, la convergenza uniforme implica il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Si può invertire questa proposizione? Dunque, se per una certa successione è lecito il passaggio al limite sotto il segno di integrale, è certo che tale successione converga uniformemente a una certa funzione (oltre che puntualmente)?

Aggiungo...

Siano $f_n$, $n in NN$, funzioni sommabili in $X$ e convergenti q.o. a $f$ in $X$. Supponiamo inoltre che esista $g$ sommabile su $X$ e verificante $|f_n(x)| <= g(x)$, per q.o. $x in X$, per ogni $n in NN$.

Tali condizioni, sufficienti affinché avvenga il passaggio al limite sotto il segno di integrale, sono anche necessarie? Implicano che $f_n$ converge uniformemente a $f$?

[Fioravante Patrone1]

"Kroldar":Come è noto, la convergenza uniforme implica il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Si può invertire questa proposizione? Dunque, se per una certa successione è lecito il passaggio al limite sotto il segno di integrale, è certo che tale successione converga uniformemente a una certa funzione (oltre che puntualmente)?

no. prendi $x^n$ su $[0,1]$ che converge puntualmente ad una funzione discontinua (e quindi non può convergere uniformemente): gli integrali vanno a zero, che è il valore dell'integrale della funzione limite

"Kroldar":Siano $f_n$, $n in NN$, funzioni sommabili in $X$ e convergenti q.o. a $f$ in $X$. Supponiamo inoltre che esista $g$ sommabile su $X$ e verificante $|f_n(x)| <= g(x)$, per q.o. $x in X$, per ogni $n in NN$.
Tali condizioni, sufficienti affinché avvenga il passaggio al limite sotto il segno di integrale, sono anche necessarie?

uhm... se le ipotesi del teorema di convergenza dominata di Lebesgue sono anche necessarie?
$f_n(x) = 1$ per $n \le x le n+(1/n)$ e zero altrimenti mi sembra che potrebbe essere un controesempio
ovviamente $f_n$ tende puntualmente a zero e così fanno gli integrali
ma l'integrale di una maggiorante (di tutte le $f_n$) mi sembra venga uguale ad una serie armonica
ma magari domani, di giorno, lo si vede meglio se è vero o no

"Kroldar":Implicano che $f_n$ converge uniformemente a $f$?

no. Il primo esempio che ho fatto fa vedere che non è vero

[Kroldar]

"Fioravante Patrone":
uhm... se le ipotesi del teorema di convergenza dominata di Lebesgue sono anche necessarie?
$f_n(x) = 1$ per $n \le x le n+(1/n)$ e zero altrimenti mi sembra che potrebbe essere un controesempio
ovviamente $f_n$ tende puntualmente a zero e così fanno gli integrali
ma l'integrale di una maggiorante (di tutte le $f_n$) mi sembra venga uguale ad una serie armonica
ma magari domani, di giorno, lo si vede meglio se è vero o no

Eh sì... sono proprio le ipotesi del teorema della convergenza dominata...
Non è possibile magari trovare un'altra maggiorante che sia però sommabile?

Per il resto ti ringrazio, è tutto chiarissimo!

[Fioravante Patrone1]

"Kroldar":[quote="Fioravante Patrone"]
uhm... se le ipotesi del teorema di convergenza dominata di Lebesgue sono anche necessarie?
$f_n(x) = 1$ per $n \le x le n+(1/n)$ e zero altrimenti mi sembra che potrebbe essere un controesempio
ovviamente $f_n$ tende puntualmente a zero e così fanno gli integrali
ma l'integrale di una maggiorante (di tutte le $f_n$) mi sembra venga uguale ad una serie armonica
ma magari domani, di giorno, lo si vede meglio se è vero o no

Eh sì... sono proprio le ipotesi del teorema della convergenza dominata...
Non è possibile magari trovare un'altra maggiorante che sia però sommabile?
[/quote]

no, non si può, perché la più piccola funzione che sia maggiorante è naturalmente definita così:
$g(x) =$ sup ${ f_n(x) \ : \ n \in NN}$
e mi riferivo per l'appunto all'integrale di questa dicendo che viene la serie armonica

ciao