Successioni di funzioni

[Aletzunny1]

ciao a tutti, mi è sorto un dubbio pre esame abbastanza preoccupante

sia $f_n(x)= \int_x^(x+n) arctan(t^2)/t^a dt$

1) determinare per quali $a$ vi è convergenza puntuale in $(0,+infty)$

$\int_x^(x+n) arctan(t^2)/t^a dt$ $->$ $\int_x^(+infty) arctan(t^2)/t^a dt <= \int_x^(+infty) (pi/2)/t^a dt$

integrabile sse $a>1$

2) determinare per quali $a$ vi è convergenza uniforme in $E=(0,+infty)$

$Sup_(x in E) |\int_x^(x+n) arctan(t^2)/t^a dt - \int_x^(+infty) arctan(t^2)/t^a dt|$ $=$

$Sup_(x in E) |\-int_(x+n)^x arctan(t^2)/t^a dt - \int_x^(+infty) arctan(t^2)/t^a dt|$

ora ho questo dubbio: posso unire tranquillamente l'integrale e renderlo come

$Sup_(x in E) |\int_(x+n)^(+infty) arctan(t^2)/t^a dt|$ ?

oppure dovrei valutare l'integrabilità dei singoli integrali prima di unirli?


3) determinare per quali $a$ la funzione limite è $L^1((0,+infty))$

in questo caso, i valori di $a$ trovati devo metterli a sistema con quelli del punto 1) ma anche con quelli del punto 2) oppure il punto 2) e 3) sono separati?

Grazie mille

[Aletzunny1]

Nessuno riesce ad aiutarmi?

[gugo82]

Chiaramente, l'integrale che definisce $f_n(x)$ ha senso per ogni valore di $alpha in RR$; tuttavia, quando lo vuoi passare al limite su $n$ per studiare la convergenza puntuale, devi essere sicuro che l'integrale improprio:

$int_x^(+oo) (arctan t^2)/(t^alpha)\ "d" t$

esista finito e ciò accade solo se $alpha >1$. Quindi la successione $f_n(x)$ converge verso $f(x):=int_x^(+oo) (arctan t^2)/t^alpha "d" t$ solo se $alpha >1$.

Per studiare la convergenza uniforme, oltre a considerare $alpha >1$, devi andarti a studiare la funzione scarto $|f_n-f|$ che è definita da:

$|f_n(x) - f(x)| = int_(x+n)^(+oo) (arctan t^2)/t^alpha\ "d"t$

(sì, puoi applicare la proprietà additiva perché entrambi gli integrali hanno senso); visto che l'integrando è positivo, è chiaro che lo scarto è una funzione decrescente e che l'estremo superiore è preso per $x -> 0$, perciò:

$"sup"_(x>0) |f_n(x) - f(x)| = int_n^(+oo) (arctan t^2)/t^alpha\ "d"t :=M_n$

e si vede che $M_n -> 0$ non appena l'integrando ha integrale improprio convergente in $+oo$, ossia esattamente quando $alpha >1$.
Quindi c'è sempre convergenza uniforme, oltre che puntuale, per ogni $alpha >1$.

Infine, vuoi sapere per quali $alpha >1$ la funzione limite $f(x) = int_x^(+oo) (arctan t^2)/t^alpha "d"t$ è sommabile su $]0,+oo[$, ossia (visto che $f$ è positiva) per quali $alpha >1$ esiste finito l'integrale improprio:

$int_0^(+oo) (int_x^(+oo) (arctan t^2)/t^alpha\ "d" t)\ "d"x$.

Ciò si può fare, ad esempio, studiando l'ordine di infinitesimo di $f$ in $+oo$... Prova.

[Aletzunny1]

grazie della risposta: mi rimangono solo 2 dubbi
"sì, puoi applicare la proprietà additiva perché entrambi gli integrali hanno senso": cosa intendi? Non mi è chiaro.

infine il punto 3) l'ho risolto e trovo $2

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[gugo82]

"Aletzunny":grazie della risposta: mi rimangono solo 2 dubbi
"sì, puoi applicare la proprietà additiva perché entrambi gli integrali hanno senso": cosa intendi? Non mi è chiaro.

Se l'integrale improprio che definisce $f$ non avesse significato (ossia, non esistesse) o fosse uguale a $+- oo$, non avrebbe senso chiedersi se ci sia convergenza uniforme o no, perché non c'è nemmeno quella puntuale.
Quindi, stai lavorando sempre nell'ipotesi che sia $f_n$ sia $f$ in $|f_n - f|$ abbiano senso (e, anche di più, che esistano finiti) ossia per $alpha >1$.

"Aletzunny":infine il punto 3) l'ho risolto e trovo $2
Certo.

[Aletzunny1]

Mi sto perdendo qualcosa: se $x=0$ allora i due integrali (prima di unirli) non esistono finiti sse $a-2<1$ cioè $a<3$?
Perché però lo posso non considerare e mi basta $a>1$?

[Aletzunny1]

Sto scrivendo da mobile e mi sono accorto ora che era davvero scritto male cosi!
Ho cancellato e sistemato

[gugo82]

Perché, $x=0$ fa parte del dominio?

[Aletzunny1]

No però io sto calando il $Sup$, quindi non posso considerare anche $x=0$ ?

Di certo mi sto perdendo in qualche sottigliezza che non mi è chiara

[gugo82]

Non capisco.
Potresti essere più chiaro?

[Aletzunny1]

"gugo82":Non capisco.
Potresti essere più chiaro?

$Sup_(x in E) |\int_x^(x+n) arctan(t^2)/t^a dt - \int_x^(+infty) arctan(t^2)/t^a dt|$

so che $E=(0,+infty)$ però se considero il $Sup$ allora $x=0$ potrebbe fare parte? O sto sbagliando?

quindi a me verrebbe che questi 2 integrali presi singolarmente $|\int_x^(x+n) arctan(t^2)/t^a dt - \int_x^(+infty) arctan(t^2)/t^a dt|$ hanno problemi di integrabilità in $U(0)$ e quindi ci sarebbe $a<3$.

ma a quanto pare (ed è giusto) basta solo $a>1$ affinchè questi 2 integrali esistano singolarmente finiti

[gugo82]

Ale, scusa, mi calcoli $"sup"_(x >0) |1/x - 1/x|$?

[Aletzunny1]

Non è scrivere $Sup_(x>0) |0|=0$ ?

[gugo82]

Appunto... E ti interessa qualcosa di quel che accade a ciascuno degli addendi in $0$?

[Aletzunny1]

No! Ma da ciò quindi dovrei capire che dovevo semplicemente unire l'integrale?
Oppure che $x notin (0,+infty)$ e quindi lo escludo anche per il Sup?

[gugo82]

Pensa al significato dell'esempio ed a come esso si relaziona col tuo problema invece di scrivere sul forum.
Qual è la successione logica di operazioni che fai quando vai a calcolare un estremo superiore?

[Aletzunny1]

Bhe qui $x=0$ mi interessa poco perché sostanzialmente l'integrale che devo calcolare esclude sempre $0$, tanto che unendo diventa evidente