Successioni di funzioni

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sia ${f_n}$ la successione di funzioni definite in $[1,0]$ mediante la seguente legge:

$f_n= \{(4n^2x -> 0<=x<=1/(2n)),(4n-4n^2x -> 1/(2n)<=x<=1/n),(0 -> 1/n<=x<=1):}$

e sia ${F_n}$ la successione delle funzioni integrali di ${f_n}$.
Studiare la convergenza di ${f_n}$ e quella di ${F_n}$ e stabilire se per ciascuna di essa vale il passaggio al limite sotto il segno dell'integrale.

Ho provato a studiare la convergenza di ${f_n}$:
$f_n->0$ puntualmente

per la convergenza uniforme ho che

$\lim_{n \to \infty} Sup |f_n(x)-f(x)| $

$0<=x<=1/(2n)$
$\lim_{n \to \infty} Sup |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to \infty} Sup |4n^2x| ->+oo$

$1/(2n)<=x<=1/(n)$
$\lim_{n \to \infty} Sup |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to \infty} Sup |4n-4n^2x| ->+oo$
poichè ponendo
$g(x) = 4n-4n^x$ e studiando la monotonia si ha che $g'(x) = -4n^2$ quindi è decrescente e il sup si ha in $x=1/(2n)$

$1/(n)<=x<=1$
$\lim_{n \to \infty} Sup |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to \infty} Sup |0|->0$

Si ha converga uniforme in $[1/n,1]$

Fino a qua credo sia giusto. Ora il mio dubbio è chi è ${F_n}$? E' questa?

$F_n = \{(\int_{0}^{x} (4n^2t) dt -> 0<=x<=1/(2n)),(\int_{1/(2n)}^{x } (4n-4n^2t) dt -> 1/(2n)<=x<=1/n),(\int_{1/n}^{x} 0 dt -> 1/n<=x<=1):}$

[dissonance]

Secondo me no, la funzione integrale è sbagliata. Per \(x\in (\frac{1}{2n}, \frac{1}{n})\), devi sommare
\[\tag{1}
\int_0^{\frac1{2n}} 4n^2t\, dt\]
alla roba che hai scritto. Per \(x\in (\frac{1}{n}, 1)\), devi sommare (1) e anche
\[
\int_{\frac{1}{2n}}^{\frac{1}{n}}(4n-4n^2t)\, dt.\]
Spero sia chiaro.

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così ${F_n}$ diventa

$F_n = \{(\int_{0}^ {1/(2n) } 4n^2t dt -> 0<=x<=1/(2n)), (\int_{1/(2n)}^{1/(n)} (4n-4n^2t dt) -> 1/(2n)<=x<=1/n) :}$

però non ho capito il motivo

[dissonance]

Pensaci bene. Scrivi la definizione di \(F_n(x)\) e ragionaci su con calma. Non è difficile ed è molto importante che ci arrivi da solo o da sola.

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per $ x\in[1/n,1]$ penso di aver capito il perchè considera quella funzione integrale è tipo che "sommo" le due funzioni definite fra $ x\in[1/n,1]$ e $ x\in[1/(2n), 1/n ]$
per la funzione definita in $ x\in[0, 1/2n]$ e in $ x\in[1/(2n), 1/n]$ non ho ben capito perchè se li "sommo" non ho $4n^2t$