Successioni di funzioni

[Sk_Anonymous]

Ciao, ho un problema, come al solito. Nella teoria viene data ad esempio la definizione: "si dice che una successione di funzioni converge uniformemente in I verso la funzione f se...........
Nella pratica, però, si chiede spesso di verificare che una successione di funzioni converge uniformemente in un intervallo, e non che converge uniformemente in un intervallo verso la funzione f. Come si risolve questa contraddizione?

[Plepp]

Contraddizione? Io non ho ancora avuto il piacere di studiare successioni e serie di funzioni, ma non vedo niente di contraddittorio in tutto ciò. Come al solito, il tuo è un problema di linguaggio:

Nella pratica, però, si chiede spesso di verificare che una successione di funzioni converge uniformemente in un intervallo, e non che converge uniformemente in un intervallo verso la funzione f.

Ti si sta chiedendo di verificare che esista una funzione $f$ (ed eventualmente di trovare questa benedetta $f$) verso la quale la successione converga uniformemente in $I$ (che non so manco bene cosa voglia dire, ma ha perfettamente senso).

Oh, quando studi una serie numerica - il più delle volte - ti si chiede di dire se converge o meno, mica di determinarne la somma! E' la stessa cosa.

[Sk_Anonymous]

Scusa Plepp. viene data la seguente definizione: "si dice che una successione di funzioni converge uniformemente in I verso la funzione f se......"........poi nell'esercizio si chiede di verificare se una successione di funzioni converge uniformemente nell'intervallo $(-1,1)$ e basta. Nella teoria non è stato definito cosa significhi "converge nell'intervallo I"; è stato invece definito cosa significa "converge nell'intervallo I verso la funzione f". Non ti sembra quindi che l'esercizio sia mal posto?

Sono forse io che sono troppo pignolo?

[Plepp]

Sono forse io che sono troppo pignolo?

Francamente, sì

Secondo quanto dici allora, sarebbe mal posto anche un esercizio che ti chiede di verificare che la serie
\[\sum_{n=0}^\infty a_n\]
converge oppure no. E trovo estremamente difficile che centinaia di autori "mal pongano" lo stesso tipo di esercizio, non credi?

[Sk_Anonymous]

Ciao, sono d'accordo con quello che dici, però ci voleva tanto da parte del testo a mettere insieme la seguente frase: "trovare la funzione f verso la quale converge uniformemente la successione di funzioni indicata nell'intervallo indicato"?
Costano così tanto inchiostro queste parole in più?

[Plepp]

Non ci siamo capiti allora Lisdap. "Dire se $\{f_n\}$ converge uniformemente in $I$" - che, ripeto, so a mala pena cosa voglia dire - non vuol dire "trovare la funzione $f$ verso cui $\{f_n\}$ converge uniformemente in $I$", bensì "dire se ESISTE (!) una funzione $f$ verso la quale...". Il tuo problema è stabilire l'esistenza di 'sta benedetta $f$, non quale essa sia. Se poi riesci anche a trovarla, tanto di guadagnato.

Forse una definizione "artigianale" come questa ti toglierà ogni dubbio:

Sia $\{f_n\}$ una successione di funzioni e $I\subseteq RR$ un intervallo. Si dice che $f_n$ converge uniformemente in $I$ se esiste una funzione $f:I\to RR$ tale che $f_n\to f$ uniformemente in $I$.

[giuscri]

"Plepp":
Secondo quanto dici allora, sarebbe mal posto anche un esercizio che ti chiede di verificare che la serie
\[\sum_{n=0}^\infty a_n\]
converge oppure no.

In realta' la cosa e' un pelo diversa, credo. La convergenza uniforme non puo' essere definita a meno di conoscere quale sia la funzione a cui la successione converge puntualmente. Il motivo e' che devi avere uno scheletro rispetto al quale misurare il livello di irrequietezza degli oggetti della successione -irrequietezza dalla funzione limite.

Diversa la situazione per la successione delle somme parziali di una serie numerica -la convergenza li' deriva dal come sono fatti gli addendi.

Qui avevo provato a fare un breve richiamo, lanciato dall'entusiasmo della lezione di quel giorno.

La definizione che Plepp definisce artigianale mi sembra utile a chiarire il tutto.

[Plepp]

La definisco "artigianale" perché me la so' inventata

Quanto all'analogia tra serie e successioni di funzioni...di queste ultime ne so poco e niente, giusto quel poco che leggi su Wikipedia e dintorni per curiosità Un esempio per chiarire la sottile differenza?

[giuscri]

"Plepp":Quanto all'analogia tra serie e successioni di funzioni...di queste ultime ne so poco e niente, giusto quel poco che leggi su Wikipedia e dintorni per curiosità Un esempio per chiarire la sottile differenza?

La sottile differenza fra serie numeriche e successioni di funzioni?...
Forse la mia frase

Diversa la situazione per la successione delle somme parziali di una serie numerica -la convergenza li' deriva dal come sono fatti gli addendi.

trae in inganno. Intendevo dire che che mentre studiando la convergenza di una serie numerica non e' necessario conoscere il valore della somma -le tecniche che conosco sono tutte relative allo studio del terminegeneraledellaserie- per studiare la convergenza uniforme di una successioni di funzioni \(\{f_n\}\) si va a valutare il
\[\sup_{x \in E} \left| f_n - f \right|\]
dove \(E\) e' l'intervallo in cui \(\{f_n\}\) converge puntualmente ad \(f\).

Cioe', una verifica di convergenza uniforme di una successione non puo' prescindere dal conoscere il valore limite della successione. Se ora pensi alla \(\{f_n\}\) come alla successione delle somme parziale di una serie di funzioni, capisci che dovresti conoscere il valore limite delle somme parziali (la somma) -il che, come sappiamo tutti, non e' sempre un diritto concesso allo studente.

EDIT: un introduzione compatta all'argomento (una ventina di pagine) l'ho trovata su un testo scritto da un mio professore (Analisi 3 -Vignati Marco, Giuseppe Molteni). Mi pare sia un buon riferimento -ma non ho molti altri termini di paragone, in effetti ...