Successioni di Cauchy e successioni convergenti
È corretto dire che la successione $\{x_n\} \subset \mathbb{Q}$ definita da $x_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ è di Cauchy ma non è convergente?
Risposte
sì
Ok, grazie (stavolta son meno di 3 byte 
).
).
non voglio ridurti in miseria!
Altroché è l'esempio più classico direi!
Un altro esempio un po' meno banale è
$x_n=1/n*(((2n)!!)/((2n-1)!!))^2$
che è fatta di numeri razionali ma converge in $RR$ a $pi$ quindi non converge in $QQ$
Un altro esempio un po' meno banale è
$x_n=1/n*(((2n)!!)/((2n-1)!!))^2$
che è fatta di numeri razionali ma converge in $RR$ a $pi$ quindi non converge in $QQ$
come si vede? con stirling?
"Tipper":
È corretto dire che la successione $\{x_n\} \subset \mathbb{Q}$ definita da $x_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ è di Cauchy ma non è convergente?
Ma converge in $ RR $ al ben noto numero $ e $ !
Ho voluto precisarlo in quanto forse non scontato per tutti
Ti sei tirato la zappa sul piede Camillo, adesso mi obblighi a chiederti di dimostrare che $e$ non è razionale, altrimenti la successione sarebbe convergente in $\mathbb{Q}$.
E allora io aggiungerei anche che è uno tanti controesempi per mostrare che $QQ$ non è completo...
Vabbè, principio di Tamburino: sto zitto...
Vabbè, principio di Tamburino: sto zitto...
"Luca.Lussardi":
Ti sei tirato la zappa sul piede Camillo, adesso mi obblighi a chiederti di dimostrare che $e$ non è razionale, altrimenti la successione sarebbe convergente in $\mathbb{Q}$.
Ahi ahi, vedrò di provvedere, in tempi adeguati e con una dimostrazione elementare o quasi
... e per l'esempio di zorn?
"Camillo":
[quote="Luca.Lussardi"]Ti sei tirato la zappa sul piede Camillo, adesso mi obblighi a chiederti di dimostrare che $e$ non è razionale, altrimenti la successione sarebbe convergente in $\mathbb{Q}$.
Ahi ahi, vedrò di provvedere, in tempi adeguati e con una dimostrazione elementare o quasi
[/quote]Ecco la dimostrazione dell'irrazionalità di $ e $ :
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 719#176719
Mi spiace Nebula proprio non lo so, solo è interessante che una siffatta successione tenda a $pi$, lo dimostrò J. Wallis magari cerco su di lui
Ok Nebula trovata!
Vita e opere:
http://it.wikipedia.org/wiki/John_Wallis
Dimostrazione:
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_di_Wallis
In effetti, fattorizza la funzione $sin x/x$ (non so se hai studiato il problema di Weierstrass della fattorizzazione delle trascendenti intere) in un prodotto infinito e la calcola per $x = pi/2$.
E' legata anche a Stirling comunque, ok leggi pure
Vita e opere:
http://it.wikipedia.org/wiki/John_Wallis
Dimostrazione:
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_di_Wallis
In effetti, fattorizza la funzione $sin x/x$ (non so se hai studiato il problema di Weierstrass della fattorizzazione delle trascendenti intere) in un prodotto infinito e la calcola per $x = pi/2$.
E' legata anche a Stirling comunque, ok leggi pure
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