Successioni di Cauchy e qualche dubbio in merito

[curiosone1]

Ciao ragazzi,
buon anno nuovo a tutti voi
Mi sto preparando all'esame di Analisi Matematica Due (studio Ingegneria) e studiando mi è sorto un dubbio (e vi mostro un po' dei miei ragionamenti).
Allora:
Successioni di Cauchy: siano dati un insieme X e la distanza d a esso applicata, (X, d) formano uno spazio metrico. La successione x si definisce successione di Cauchy se per ogni e>0, esiste v appartenente all'insieme dei numeri naturali N tale che per ogni n, m > v si ha d(x[size=85]n[/size], x[size=85]m[/size]).

(1) Dato (X,d) spazio metrico e una successione x di Cauchy, possiamo concludere che tale successione è limitata oppure convergente. Questo dovrebbe essere giusto, confermate?

(2) Se abbiamo una successione limitata in X, allora essa è di Cauchy. Confermate?

(3) Se abbiamo una successione convergente a x[size=85]o[/size] appartenente a X, allora essa è di Cauchy. Confermate?

(4) Adesso viene la parte strana per me: sia dato l'insieme dei numeri reali R (oppure anche R^2, R^3, R^4, eccetera) e sia (R, d) uno spazio metrico. Le successioni di Cauchy in (R, d) sono successioni convergenti.
Non capisco questo parto punto: se sono di Cauchy, posso dire che sono sicuramente limitate, perché in R invece sono tutte convergenti?
Prendo un esempio: in (R, d) ho la successione (-1)^n, con n appartenente a N. Questa è una successione di Cauchy (perché limitata) e appartiene a R perché -1 e +1 fanno parte di R. Ma non è convergente! Dove sbaglio?

[Rigel1]

"curiosone":Ciao ragazzi,
buon anno nuovo a tutti voi
Mi sto preparando all'esame di Analisi Matematica Due (studio Ingegneria) e studiando mi è sorto un dubbio (e vi mostro un po' dei miei ragionamenti).
Allora:
Successioni di Cauchy: siano dati un insieme X e la distanza d a esso applicata, (X, d) formano uno spazio metrico. La successione x si definisce successione di Cauchy se per ogni e>0, esiste v appartenente all'insieme dei numeri naturali N tale che per ogni n, m > v si ha d(x[size=85]n[/size], x[size=85]m[/size]).

(1) Dato (X,d) spazio metrico e una successione x di Cauchy, possiamo concludere che tale successione è limitata oppure convergente. Questo dovrebbe essere giusto, confermate?

Puoi concludere che è limitata.

(2) Se abbiamo una successione limitata in X, allora essa è di Cauchy. Confermate?

No. Considera \(x_n = (-1)^n\) in \((\mathbb{R}, |\cdot|)\).

(3) Se abbiamo una successione convergente a x[size=85]o[/size] appartenente a X, allora essa è di Cauchy. Confermate?

Sì.

(4) Adesso viene la parte strana per me: sia dato l'insieme dei numeri reali R (oppure anche R^2, R^3, R^4, eccetera) e sia (R, d) uno spazio metrico. Le successioni di Cauchy in (R, d) sono successioni convergenti.
Non capisco questo parto punto: se sono di Cauchy, posso dire che sono sicuramente limitate, perché in R invece sono tutte convergenti?
Prendo un esempio: in (R, d) ho la successione (-1)^n, con n appartenente a N. Questa è una successione di Cauchy (perché limitata) e appartiene a R perché -1 e +1 fanno parte di R. Ma non è convergente! Dove sbaglio?

Se \(d\) è una metrica qualsiasi non è necessariamente vero che le successioni di Cauchy sono convergenti; è vero se \(d\) è, ad esempio, la metrica euclidea.
Le successioni limitate non sono necessariamente di Cauchy (vedi sopra).

[curiosone1]

Grazie, ho capito (quasi) tutto.

Allora se sono in (R, d), (R^2, d), (R^3, d), (R^4, d), ..., e d è la distanza euclidea, allora possiamo dire che tutte le successioni di Cauchy in (R, d), (R^2, d), (R^3, d), (R^4, d), ..., sono successioni convergenti.

La cosa che non ho capito è la tua risposta al quesito (2): perché la successione limitata non è di Cauchy? Cosa significa quel "puntino" con il valore assoluto?

E grazie mille! Mi hai chiarito molti dubbi!!!

[Rigel1]

"curiosone":La cosa che non ho capito è la tua risposta al quesito (2): perché la successione limitata non è di Cauchy? Cosa significa quel "puntino" con il valore assoluto?

Significa \(\mathbb{R}\) con l'usuale distanza euclidea. Quella successione è limitata ma non è di Cauchy.

[curiosone1]

Quindi, anche lo spazio metrico con X := [0, 12] sottoinsieme di R e la distanza euclidea d, la successione (-1)^n non è di Cauchy perché, anche se limitata, i valori -1 e +1 non sono compresi in X.
Ok, dovrei aver capito tutto

[Rigel1]

"curiosone":Quindi, anche lo spazio metrico con X := [0, 12] sottoinsieme di R e la distanza euclidea d, la successione (-1)^n non è di Cauchy perché, anche se limitata, i valori -1 e +1 non sono compresi in X.
Ok, dovrei aver capito tutto

No.
La successione deve essere a valori nello spazio che stai considerando (altrimenti non è una successione in quello spazio!).
Quella successione non è di Cauchy perché non verifica la condizione di Cauchy: infatti hai che
\[
|x_{2n} - x_{2n+1}| = 2 \qquad \forall n.
\]
Di conseguenza, anche se prendi indici grandi a piacere, trovi differenze che non vanno a zero.

[curiosone1]

Avevo letto da qualche parte che, in una successione di Cauchy, "la distanza reciproca degli elementi tendeva ad annullarsi".
Questo è vero per una successione convergente ma se ho una successione di Cauchy limitata, questa ultima parte non è propriamente vero.
Che sbaglio sto facendo? Oppure (molto sicuro) mi ricordo male io?

[Rigel1]

Mi sa che hai in testa un po' di confusione.
Ti ricordo che, come già detto:
1) una successione di Cauchy è sempre limitata; non è in generale vero il viceversa;
2) in \(\mathbb{R}\) (con la usuale distanza) una successione è di Cauchy se e solo se è convergente.

[curiosone1]

Credo, a questo punto, che la distanza reciproca tra gli elementi tende ad annullarsi se la successione è di Cauchy in (R, dist. eucludea), che in effetti converge.

Se posso abusare della tua pazienza per un'ultima volta: mi potresri undicare una successione di Cauchy limitata (non convergente)?
Grazie mille per l'aiuto!

[Rigel1]

"curiosone":Se posso abusare della tua pazienza per un'ultima volta: mi potresri undicare una successione di Cauchy limitata (non convergente)?
Grazie mille per l'aiuto!

Puoi considerare lo spazio metrico \((X, d)\) con \(X = (0,2)\) e \(d(x,y) = |x-y|\).
La successione \(x_n = 1/n\) è di Cauchy in \((X, d)\), ma non è convergente. (Ovviamente converge a \(0\) in \(\mathbb{R}\), ma \(0\not\in X\).)