Successioni di Cauchy
Ciao a tutti, una volta all'anno mi rifaccio vivo 
Visto che una spiegazione chiara al 100% non l'ho ancora trovata, c'è qualcuno di voi che mi sa spiegare
cosa significa la notazione \(m,n\to +\infty\) nella seguente definizione?
Una successione \(\{u_m\}\) si dice di Cauchy se e solo se \( ||u_m - u_n|| \to 0\) quando \(m,n\to +\infty\).
Significa forse fissare prima m e mandare n all'infinito, e poi fissare n e mandare m all'infinito? Oppure
significa che tendono all'infinito in \(\mathbb{N}^2\)?
Grazie.
Visto che una spiegazione chiara al 100% non l'ho ancora trovata, c'è qualcuno di voi che mi sa spiegare
cosa significa la notazione \(m,n\to +\infty\) nella seguente definizione?
Una successione \(\{u_m\}\) si dice di Cauchy se e solo se \( ||u_m - u_n|| \to 0\) quando \(m,n\to +\infty\).
Significa forse fissare prima m e mandare n all'infinito, e poi fissare n e mandare m all'infinito? Oppure
significa che tendono all'infinito in \(\mathbb{N}^2\)?
Grazie.
Risposte
Significa che date due qualsiasi successioni $m_k$ e $n_k$ di naturali strettamente crescenti ($m_k \rightarrow +\infty$ e $n_k \rightarrow +\infty$ per $k \rightarrow +\infty$) $||a_{m_k}-a_{n_k}|| \rightarrow 0$ per $k \rightarrow +\infty$ in qualsiasi norma su $RR$ (tanto sono tutte equivalenti )
Oppure, se preferisci, significa che per ogni \(\epsilon > 0\) esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[
\| u_m - u_n \| < \epsilon \qquad \forall n, m > N.
\]
\[
\| u_m - u_n \| < \epsilon \qquad \forall n, m > N.
\]
@Rigel: certo, questo ok, è la definizione tale e quale... Io mi chiedevo se questa notazione suggerisse dietro le righe un modo pratico per verificare che una successione è di Cauchy, per esempio calcolando il limite per \((m,n)\to\infty\) dove \(\infty\) è l'infinito in \(\mathbb N^2\)...
Scusa se ti rispondo io...
In $RR^n$ ogni successione convergente è di Cauchy (e viceversa), mai sentito parlare del criterio di Cauchy?! quindi per mostrare che una successione è di Cauchy basta mostrare che converge.
Quella notazione suggerisce "dietro le righe" che in una successione di Cauchy (convergente ) si possono trovare
termini arbitrariamente vicini, non ha senso in sè calcolare il limite per $(m,n) \rightarrow +\infty$ se non si conosce che relazione lega $m$ e $n$.
In $RR^n$ ogni successione convergente è di Cauchy (e viceversa), mai sentito parlare del criterio di Cauchy?! quindi per mostrare che una successione è di Cauchy basta mostrare che converge.
Quella notazione suggerisce "dietro le righe" che in una successione di Cauchy (convergente ) si possono trovare
termini arbitrariamente vicini, non ha senso in sè calcolare il limite per $(m,n) \rightarrow +\infty$ se non si conosce che relazione lega $m$ e $n$.
@dan95 Non ho mai parlato di successioni a valori in \(\mathbb R^n\), mi sono sempre riferito a successioni a valori in uno spazio normato qualsiasi (o anche metrico, rimpiazzando la norma con la distanza).
In sostanza, per verificare che una successione è di Cauchy, occorre veramente sempre ricorrere alla definizione oppure esistono altri metodi? In questa dimostrazione ad esempio https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_contrazioni, prima si maggiora \(d(x_n,x_m)\) con il risultato della serie geometrica (supponendo di aver mandato quindi \(n\) all'infinito), e poi si manda \(m\) all'infinito... E' davvero corretto? Si può forse dire in generale che \(d(x_{n+p},x_n)\) tende a 0 quando $n\to +\infty$, per ogni intero $p$ non nullo?
In sostanza, per verificare che una successione è di Cauchy, occorre veramente sempre ricorrere alla definizione oppure esistono altri metodi? In questa dimostrazione ad esempio https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_contrazioni, prima si maggiora \(d(x_n,x_m)\) con il risultato della serie geometrica (supponendo di aver mandato quindi \(n\) all'infinito), e poi si manda \(m\) all'infinito... E' davvero corretto? Si può forse dire in generale che \(d(x_{n+p},x_n)\) tende a 0 quando $n\to +\infty$, per ogni intero $p$ non nullo?
"fireball":
In sostanza, per verificare che una successione è di Cauchy, occorre veramente sempre ricorrere alla definizione oppure esistono altri metodi? In questa dimostrazione ad esempio https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_contrazioni, prima si maggiora \(d(x_n,x_m)\) con il risultato della serie geometrica (supponendo di aver mandato quindi \(n\) all'infinito), e poi si manda \(m\) all'infinito... E' davvero corretto? Si può forse dire in generale che \(d(x_{n+p},x_n)\) tende a 0 quando $n\to +\infty$, per ogni intero $p$ non nullo?
Nella dimostrazione da te citata arrivi a una stima del tipo
\[
d(x_n, x_m) \leq \delta_m, \qquad \forall n\geq m,
\]
con \(\delta_m\to 0\).
Vedi subito che è valida la definizione di successione di Cauchy: fissato \(\epsilon > 0\), poiché \(\delta_m\to 0\) esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che \(\delta_m < \epsilon\) per ogni \(m\geq N\). Di conseguenza, se \(n, m\geq N\) hai che \(d(x_n, x_m) < \epsilon\) (devi eventualmente scambiare il ruolo di \(n\) ed \(m\) a seconda di chi dei due sia il più grande).
Come osservavi tu, questo è equivalente a dire che \(\lim_n d(x_{n+p}, x_n) = 0\) per ogni \(p\in\mathbb{N}\).
Secondo me, in ultima istanza, è sempre meglio far riferimento alle definizioni; poi, una volta capito il meccanismo, si può anche procedere più rapidamente.
"Rigel":
Come osservavi tu, questo è equivalente a dire che \(\lim_n d(x_{n+p}, x_n) = 0\) per ogni \(p\in\mathbb{N}\).
Ma intendi che è equivalente al fatto che la successione sia di Cauchy?
Perchè non è vero.
"fireball":
Non ho mai parlato di successioni a valori in Rn, mi sono sempre riferito a successioni a valori in uno spazio normato qualsiasi (o anche metrico, rimpiazzando la norma con la distanza).
L'implicazione $x_n$ convergente in $X \Rightarrow\ x_n$ è di Cauchy vale in ogni spazio metrico $(X,d)$. Il viceversa solo negli spazi metrici completi, come $RR^n$ appunto.
"DajeForte":
[quote="Rigel"] Come osservavi tu, questo è equivalente a dire che \(\lim_n d(x_{n+p}, x_n) = 0\) per ogni \(p\in\mathbb{N}\).
Ma intendi che è equivalente al fatto che la successione sia di Cauchy?
Perchè non è vero.[/quote]
Grazie Rigel... Ecco, questa è una buona domanda: io penso sia condizione solo sufficiente.
"fireball":
[quote="DajeForte"][quote="Rigel"] Come osservavi tu, questo è equivalente a dire che \(\lim_n d(x_{n+p}, x_n) = 0\) per ogni \(p\in\mathbb{N}\).
Ma intendi che è equivalente al fatto che la successione sia di Cauchy?
Perchè non è vero.[/quote]
Grazie Rigel... Ecco, questa è una buona domanda: io penso sia condizione solo sufficiente.[/quote]
Sì, scusate, ho scritto un'equivalenza al posto di una implicazione
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
D'altra parte, dovrei autocensurarmi per quello che scrivo prima delle sette del mattino
Ci vuole sempre un bel caffè!!
@fireball: che l'equivalenza è falsa lo vedi dal fatto che implicherebbe che ogni successione convergente a 0 avrebbe serie associata convergente.
Comunque ora ci riflettero e se avrò delle buone considerazioni, le scriverò.
@dan: nel tuo primo post hai scritto che tutte le metriche in R sono equivalenti. Non è vero. Sono le norme che lo sono.
@fireball: che l'equivalenza è falsa lo vedi dal fatto che implicherebbe che ogni successione convergente a 0 avrebbe serie associata convergente.
Comunque ora ci riflettero e se avrò delle buone considerazioni, le scriverò.
@dan: nel tuo primo post hai scritto che tutte le metriche in R sono equivalenti. Non è vero. Sono le norme che lo sono.
Grazie... A intuito il fatto che la condizione \(d(x_{n+p},x_n)\to 0\) per ogni $p$ intero sia anche necessaria perché la successione sia di Cauchy è falso, ma non riesco a fabbricare un controesempio (sarà che sono svariati anni che non faccio più queste robe ).
).
"DajeForte":
@dan: nel tuo primo post hai scritto che tutte le metriche in R sono equivalenti. Non è vero. Sono le norme che lo sono.
Hai ragione solo quelle indotte dalle norme
"DajeForte":
@fireball: che l'equivalenza è falsa lo vedi dal fatto che implicherebbe che ogni successione convergente a 0 avrebbe serie associata convergente.
Sei sicuro di questa cosa? Sarà che non connetto granché ultimamente, ma non vedo il nesso...
In $(RR, d=||)$, prendi $a_n to 0$.
Definisci $x_n= sum_{k=1}^n a_k$.
Dunque $d(x_n,x_{n+p}) <= sum_{k=n+1}^{n+p} |a_k| <= p " sup"_{k>=n} |a_k| to 0$.
Dunque $x_n$ è di Cauchy (sbagliato), quindi $ sum_{k=1}^{infty} a_k$ converge.
Se ti scrivi la definizione di Cauchy vedi che il per ogni p è dentro la definizione. Questo rende la condizione più forte.
Definisci $x_n= sum_{k=1}^n a_k$.
Dunque $d(x_n,x_{n+p}) <= sum_{k=n+1}^{n+p} |a_k| <= p " sup"_{k>=n} |a_k| to 0$.
Dunque $x_n$ è di Cauchy (sbagliato), quindi $ sum_{k=1}^{infty} a_k$ converge.
Se ti scrivi la definizione di Cauchy vedi che il per ogni p è dentro la definizione. Questo rende la condizione più forte.
Ecco, mi sfuggiva come maggiorare quella somma infatti... Adesso mi torna, grazie.
Questi sono i difetti che spuntano fuori quando si cerca di diventare matematici a partire da una laurea in Ingegneria
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Prego.
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