Successioni definite per ricorrenza-punto fisso.

[galles90]

Buonasera,

sto rileggendo la nozione di successioni definite per ricorrenza, vi riporto quanto scritto sulle dispense del prof. di analisi 1.

Sia $f : I to I$ continua , ha senso considerare la successione $u_o in I, \ qquad u_(n+1)=f(u_n)$.

Supponiamo che essa converga a $u$. Per la continuità di $f$ si ha :

$u=lim_(n to infty) u_(n+1)=lim_(n to infty) f(u_n)=f(u);$

quindi $u$ è soluzione dell'equazione

1. $ x=f(x).$

Fin quà sembra chiaro, ora fa un osservazione, dove dice che il punto fisso 1. di $f$ ammetta almeno una soluzione.
Oss. Se $I$ è un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ il punto fisso 1. ha almeno una soluzione, infatti si ha $g(x)=x-f(x)$, poichè $f(a),f(b) in [a,b]$ si ha:

$ *** g(a)= a-f(a) le 0 \ qquad g(b)=b-f(b) ge 0$

applicando il teorema dei valori intermedi si ha la tesi.
Geometricamente ci sono sul fatto che una funzione ammetta un punto fisso, ma le diseguaglianze $***$ non mi sono chiare.


Cordiali saluti.

[otta96]

È perché $AAx\inI, f(x)\inI=[a,b]=>a<=f(x)<=b$, in particolare $f(a)>=a$ e $f(b)<=b$.

[galles90]

"otta96":È perché $AAx\inI, f(x)\inI=[a,b]=>a<=f(x)<=b$, in particolare $f(a)>=a$ e $f(b)<=b$.

Buongiorno otta96,

tutto questo per il teorema di Weierstrass ?

[otta96]

No perché $f$ è una funzione da $I$ in sé stesso.

[galles90]

Ok, grazie