Successioni definite per ricorrenza con parametro

[Oiram92]

Salve a tutti, stavo facendo qualche esercizio sulle successioni definite per ricorrenza quando mi è capitato tra le mani un esercizio in cui si chiede di studiare la successione al variare di un parametro. Vi posto come l'ho svolto :

$ { ( a_1 = lambda ),( a_(n+1)= a_(n) - sqrt(a_(n))+1 ):} $

Dato che dobbiamo studiarla al variare del parametro $ lambda in R $ , ho osservato che :
Se $ lambda = 0 $ , allora la successione è formata dai termini $ (a_(n))_(n in N) = { 0 , 1 , 1 , 1 , ... , 1 } $
Quindi poichè è evidente che essa è monotòna non descescente, allora :
$ lim_(n->+oo) a_(n) = s u p(a_(n)) = 1 $

Se invece $ lambda != 0 $ , allora studiamo la funzione :
$ f(x) = x - sqrt(x) + 1 $ che è definita in $ f : [ 0 , +oo [ -> R $
Calcolo la derivata prima :

$ f'(x) = (2sqrt(x)-1)/(2sqrt(x)) $ e si ha che $ f'(x) > 0 hArr x > 1/4 $

Allora $ AA x > 1/4 $ , la funzione è monotòna crescente e dunque il suo $ lim $ sarà convergente ad $ L $ oppure divergerà positivamente.
Supponendo che la successione converga ad $ L $, calcolo :

$ L - sqrt(L) + 1 = 0 hArr sqrt(L) = 1 + L hArr L^2+L+1 = 0 $

Calcolando il $ Delta $ ottengo che è $ < 0 $ , quindi non ha soluzioni reali.
Concludiamo quindi che la successione diverge positivamente ( $ +oo $ )

Ma il parametro non lo utilizziamo più nella seconda parte dello studio della successione ?
E' giusto studiarla così ?

[Oiram92]

nessuno?

[gugo82]

Spoilerizzo, per non togliere lo sfizio agli altri.

A parte \(\lambda =0\), anche \(\lambda=1\) è un valore "strano", poiché fornisce la successione costante \(a_n=1\).

Quindi rimangono da studiare \(\lambda \in ]0,1[\) e \(\lambda \in ]1,+\infty[\).

Se \(0<\lambda <1\), hai \(0 Pertanto, partendo da \(\lambda \in ]0,1[\) si ottiene una successione limitata a valori in \(]0,1[\).
D'altra parte, la successione così ottenuta è strettamente crescente: infatti, si vede che \(a_0=\lambda < \lambda -\sqrt{\lambda} +1 =a_1\); in generale, si ha \(che a_n Conseguentemente \((a_n)\) è regolare ed il suo limite (che è finito in quanto la successione è limitata) soddisfa l'equazione di punto fisso:
\[
l=l-\sqrt{l}+1 \qquad \Rightarrow \qquad l=1\; ;
\]
quindi l'unica alternativa possibile è \(l=1\).

Se \(\lambda >1\), hai \(a_0>\sqrt{a_0}\) quindi \(a_0-\sqrt{a_0} +1>1\) ossia \(a_1>1\); d'altra parte, se \(a_n>1\) allora \(a_n-\sqrt{a_n}+1>1\) dunque \(a_n>1\). Perciò \((a_n)\) è formata da elementi \(>1\).
D'altra parte, si ha \(a_n>a_n-\sqrt{a_n} +1=a_{n+1}\), dunque la successione \((a_n)\) è strettamente crescente e perciò regolare.
Infine, notato che l'equazione dei punti fissi ha come unica soluzione \(l=1\) e che \(a_0>1\), l'unica alternativa è che risulti \(\lim_n a_n=+\infty\).

[Oiram92]

Grazie , ma $ l = l - sqrt(l) + 1 $ non sarebbe $ sqrt(l) = 1 hArr l = 1 $ ?

[gugo82]

Ah, sì, certo...
Ora correggo!

[Oiram92]

Grazie ancora, allora mi è rimasto solo un ultimo dubbio per una successione (ma senza parametro)

$ { ( a_1 = 1 ),( a_(n+1) = a_n + arctan((2a_n)/((a_n)^2+1)) ):} $

Per studiarla utilizzo questo metodo :

$ f(x) = x + arctan((2x)/(x^2+1)) $

Quindi $ f : R -> R $
A questo punto calcolo la monotonìa dalla derivata prima :

$ f'(x) = 1 + 1/(1+(2x/(x^2+1))) * (2(x^2+1)-4x^2)/((x^2+1)^2) = (x^4 + 4x^2 + 1)/(x^4 + 6x^2+1) $

Quindi $ f'(x) > 0 $ $ AAx in R $ e dunque :

$ lim_(x->+oo) f(x) = L in R $ oppure $ +oo $

Se il $ lim $ fosse $ L $ si dovrebbe avere $ L + arctan((2L)/(L^2+1)) = 0 $

Domande
1) Il procedimento è giusto? O meglio, è giusto studiare in questo modo questo tipo di successioni senza parametro ?
2) Come risolvo l'ultima equazione ? Quella con $ arctan $ ?

[gugo82]

Si tratta di stabilire se \((a_n)\) è monotona, perché in tal caso si vince facile.
Il fatto che \(a_2>a_1\) segue dalla ricorrenza per sostituzione, e ciò costituisce una buona base per l'induzione.
Ora, adottando la tua notazione, hai \(f(x)\) crescente; quindi, assunta l'ipotesi induttiva \(a_{n+1}>a_n\), si ha \(a_{n+2}=f(a_{n+1})>f(a_n)=a_{n+1}\).
Conseguentemente \((a_n)\) è strettamente crescente.

La monotonia implica che esiste \(\lim_n a_n =:l\); si tratta perciò di stabilire se \(l\) è finito o è \(+\infty\).
Se \(l\) fosse finito, esso dovrebbe soddisfare l'equazione di punto fisso:
\[
l=l+\arctan \left( \frac{2l}{1+l^2}\right) \qquad \Leftrightarrow \qquad l=0\; ;
\]
ma ciò è impossibile, giacché \(l> a_1=1\).
Quindi \(l=+\infty\).

[Oiram92]

Ah perfetto ! Quindi non dovevo porre $ l + arctan((2l)/(1+l^2)) = 0 $ , ma $ = l $ , perchè deve soddisfare l'equazione di punto fisso. Tutto chiaro.
Per quanto riguarda la monotonìa, il prof ce l'ha sempre fatta calcolare dalla derivata prima e non per induzione. Quindi vorrei fare come la fa lui se diciamo che è un procedimento valido (anche se credo che lo sia dato che giungiamo alla stessa conclusione). Tu che dici ? E' corretto farlo anche con la derivata?

[chisigma]

"Oiram92":Salve a tutti, stavo facendo qualche esercizio sulle successioni definite per ricorrenza quando mi è capitato tra le mani un esercizio in cui si chiede di studiare la successione al variare di un parametro. Vi posto come l'ho svolto :

$ { ( a_1 = lambda ),( a_(n+1)= a_(n) - sqrt(a_(n))+1 ):} $

Dato che dobbiamo studiarla al variare del parametro $ lambda in R $ , ho osservato che :
Se $ lambda = 0 $ , allora la successione è formata dai termini $ (a_(n))_(n in N) = { 0 , 1 , 1 , 1 , ... , 1 } $
Quindi poichè è evidente che essa è monotòna non descescente, allora :
$ lim_(n->+oo) a_(n) = s u p(a_(n)) = 1 $

Se invece $ lambda != 0 $ , allora studiamo la funzione :
$ f(x) = x - sqrt(x) + 1 $ che è definita in $ f : [ 0 , +oo [ -> R $
Calcolo la derivata prima :

$ f'(x) = (2sqrt(x)-1)/(2sqrt(x)) $ e si ha che $ f'(x) > 0 hArr x > 1/4 $

Allora $ AA x > 1/4 $ , la funzione è monotòna crescente e dunque il suo $ lim $ sarà convergente ad $ L $ oppure divergerà positivamente.
Supponendo che la successione converga ad $ L $, calcolo :

$ L - sqrt(L) + 1 = 0 hArr sqrt(L) = 1 + L hArr L^2+L+1 = 0 $

Calcolando il $ Delta $ ottengo che è $ < 0 $ , quindi non ha soluzioni reali.
Concludiamo quindi che la successione diverge positivamente ( $ +oo $ )

Ma il parametro non lo utilizziamo più nella seconda parte dello studio della successione ?
E' giusto studiarla così ?

La 'equazione alle differenze puo' essere sctitta nella forma alternativa...

$\Delta_{n}= a_{n+1}-a_{n} = 1-\sqrt{a_{n}} = f(a_{n})\ ,\ a_{1}=\lambda$ (1)

L'analisi e' molto agevolata dal seguente diagramma che rappresenta la funzione f(x)...



La f(x) ha un unico 'punto fisso attrattivo' [ossia un punto in cui la f(x) attraversa l'asse x con pendenza negativa...] in $x_{0}=1$ e, poiche' per ogni $x \ge 0$ e' verificata la relazione $|f(x)| < |x_{0}-x|$ per ogni valore di $\lambda \ge 0$ la sequenza $a_{n}$ convergera' ad $x_{0}=1$ in maniera monotona. La stessa procedura puo' essere usata anche per l'equazione alle differenze proposta nell'ultimo postato...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$