Successioni definite per ricorrenza

[laska1]

Buon pomeriggio,
ero alle prese con lo studio delle successioni definite per ricorrenza.
Il libro che uso per esercitarmi, il Giusti, risolve le successioni assegnate facendo sempre un discorso generale...Mentre in classe, l'esercitatrice ha reso lo svolgimento più dettagliato.
Io ho difficoltà nel "far vedere" in determinati casi, la crescenza o decrescenza della funzione dipendente dal termine n-simo della successione.

Ad esempio

per $a_(n+1)=(2(2a_n+1))/(a_n+3)$

$a_0<-3$
come faccio a vedere se la funzione cresce o descresce?

[dissonance]

Puoi usare le tecniche standard del calcolo differenziale. In questo caso, poni

\[f(x)=2 \frac{2x+1}{x+3},\]

calcola la derivata prima e analizzane il segno.

[laska1]

non posso usare le derivate purtroppo

[dissonance]

Allora fai così. Fissa \(x < y< -3\) (il \(<-3\) perché, dalla traccia, è quello l'intervallo che ti interessa studiare). Scrivi

\[f(x)< f(y)\]

e vedi se questa relazione è vera o falsa. Quindi, concretamente:

\[\frac{2x+1}{x+3} < \frac{2y+1}{y+3};\]
ora elimina i denominatori, osservando che sono tutti e due negativi quindi il verso della disequazione non cambia:
\[(2x+1)(y+3) < (2y+1)(x+3); \]
fai i conti:
\[6x+y < 6y+x\]
ovvero:
\[6(x-y)<(x-y)\]
ora elimina \(x-y\), che è negativo:
\[6>1\]
e questa relazione è vera. Quindi è vera anche \(f(x)

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[Gi81]

@dissonance: hai dimostrato che se $x Ma credo che sia poco utile per quello che dobbiamo trovare.

Infatti, se $a_0 < -3$, sicuramente $a_1 >0$ ( e in generale $a_n >0$ $AA n >1$) quindi abbandoniamo l'intervallo $(-oo, -3)$

[dissonance]

oops

Allora bisogna rifare il discorso pure per \(-3 < x

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[Gi81]

Secondo me basta dimostrare due cose:
1) se $a_0 < -3$ allora $a_1>2$
2) se $EE k$ tale che $a_k >2$ la successione $(a_(n+k))_(n in NN)$ è strettamente decrescente e ha limite pari a $2$

[laska1]

Gi8, perché hai presso proprio 2?

Comunque in classe la prof fa discussioni analoghe a quella fatta da Dissonance

[Gi81]

Sono andato per tentativi:
ho preso $a_0$ uguale a $-4$, $-10$, $-100$ e ho notato che in tutti i casi $a_1>2$ e da lì in poi la successione è decrescente e sempre più vicina a $2$

Infatti se risolvi $2((2x+1)/(x+3))>2$ ottieni $(x-2)/(x+3)>0$ che ha soluzione $x< -3 vv x>2$
Questo ci dimostra che se $a_0< -3$ allora $a_1>2$ (il primo punto)
e anche che se $a_n >2$ allora $a_(n+1)>2$ (una parte del secondo punto)

Per completare basta dimostrare che se $a_n >2$ allora $a_(n+1)
A questo punto la successione è definitivamente decrescente , dunque ha limite $l$ reale (con $l in [2,+oo)$)
Per provare che il limite è $2$ , basta notare che $l= 2*(2l +1)/(l+3) <=> l^2+3l -4l -2=0 <=> l^2-l -2=0 <=> (l-2)(l+1)=0$
Quindi $l=2$