Successioni definite per ricorrenza
Salve, propongo il seguente esercizio sul quale mi son bloccato
$ { ( x(n+2)-x(n+1)=An ),( x(0)=x(1)=0 ):} $ dove $ An = { ( n^2-n , per n pari ),( n^2+n , per n dispari ):} $
da cui $ An = n^2 - n(-1)^n $ la cui trasformata Z (unilatera) è
$ Z[An] = Z[n^2] - Z[n(-1)^n] = -z d/dz [-z d/dz [z/(z-1)]] + z d/dz [(-z)/(-z-1)] = (z^3 - z)/(z-1)^4 + z/(z+1)^2 $
trasformando il primo membro $ z^2 X(z) - z X(z) $ si ottiene
$ X(z) = (z(z^2-1))/(z(z-1)^5) + z/(z(z-1)(z+1)^2) = (z^2-1)/(z-1)^5 + 1/((z-1)(z+1)^2) $
A questo punto normalmente metto in evidenza una z al numeratore, scompongo in fratti semplici e così ottengo delle facili antitrasformate, qui però, data l'assenza del termine noto nella trasformata del primo membro, non posso fare questa operazione.
Come procedo?
Posso solo applicare la definizione calcolando l'integrale?
$ { ( x(n+2)-x(n+1)=An ),( x(0)=x(1)=0 ):} $ dove $ An = { ( n^2-n , per n pari ),( n^2+n , per n dispari ):} $
da cui $ An = n^2 - n(-1)^n $ la cui trasformata Z (unilatera) è
$ Z[An] = Z[n^2] - Z[n(-1)^n] = -z d/dz [-z d/dz [z/(z-1)]] + z d/dz [(-z)/(-z-1)] = (z^3 - z)/(z-1)^4 + z/(z+1)^2 $
trasformando il primo membro $ z^2 X(z) - z X(z) $ si ottiene
$ X(z) = (z(z^2-1))/(z(z-1)^5) + z/(z(z-1)(z+1)^2) = (z^2-1)/(z-1)^5 + 1/((z-1)(z+1)^2) $
A questo punto normalmente metto in evidenza una z al numeratore, scompongo in fratti semplici e così ottengo delle facili antitrasformate, qui però, data l'assenza del termine noto nella trasformata del primo membro, non posso fare questa operazione.
Come procedo?
Posso solo applicare la definizione calcolando l'integrale?
Risposte
Non ho ben capito quale sia il tuo problema: semplificando un po', ottieni che
$X(z)={z+1}/{(z-1)^4}+1/{(z-1)(z+1)^2}={A}/{z-1}+B/{(z-1)^2}+C/{(z-1)^3}+D/{(z-1)^4}+E/{z+1}+F/{(z+1)^2}$
dove le costanti $A,B,C,D,E,F$ sono da determinare come si fa con gli integrali. Una volta fatto questo, mi pare che le serie che generano quelle funzioni siano abbastanza ovvie, non ti pare?
$X(z)={z+1}/{(z-1)^4}+1/{(z-1)(z+1)^2}={A}/{z-1}+B/{(z-1)^2}+C/{(z-1)^3}+D/{(z-1)^4}+E/{z+1}+F/{(z+1)^2}$
dove le costanti $A,B,C,D,E,F$ sono da determinare come si fa con gli integrali. Una volta fatto questo, mi pare che le serie che generano quelle funzioni siano abbastanza ovvie, non ti pare?
La successione si risolve senza troppi conti con un piccolo trucco, che poi tanto trucco non è (perchè è una cosa di Analisi I).
Ricorda che data una serie \(\sum \alpha(n)\), la successione delle somme parziali \(x(n):=\sum_{k=0}^n \alpha (k)\) è definita per ricorrenza al modo che segue:
\[\begin{cases} x(n+1)=\alpha(n+1)+x(n) \\ x(0)=\alpha (0)\; ;\end{cases}\]
conseguentemente, traslando un po' gli indici, puoi scrivere anche:
\[\begin{cases} x(n+2)=\alpha(n+2)+x(n+1) \\ x(0)=\alpha (0) \\ x(1)=\alpha (1)\; .\end{cases}\]
Ebbene l'ultima ricorrenza è proprio del tipo di quella presente nel testo dell'esercizio: infatti basta prendere \(\alpha(n+2)=a(n)\), ossia \(\alpha (n)=a(n-2)\); ciò, senza far conti, importa:
\[x(n)=\begin{cases} 0 &\text{, se } n=0,1 \\ \sum_{k=2}^n a(k-2) &\text{, se } n\geq 2\; .\end{cases}\]
A questo punto, dovrai esplicitare la sommatoria, ma il grosso è fatto senza conti.
Ricorda che data una serie \(\sum \alpha(n)\), la successione delle somme parziali \(x(n):=\sum_{k=0}^n \alpha (k)\) è definita per ricorrenza al modo che segue:
\[\begin{cases} x(n+1)=\alpha(n+1)+x(n) \\ x(0)=\alpha (0)\; ;\end{cases}\]
conseguentemente, traslando un po' gli indici, puoi scrivere anche:
\[\begin{cases} x(n+2)=\alpha(n+2)+x(n+1) \\ x(0)=\alpha (0) \\ x(1)=\alpha (1)\; .\end{cases}\]
Ebbene l'ultima ricorrenza è proprio del tipo di quella presente nel testo dell'esercizio: infatti basta prendere \(\alpha(n+2)=a(n)\), ossia \(\alpha (n)=a(n-2)\); ciò, senza far conti, importa:
\[x(n)=\begin{cases} 0 &\text{, se } n=0,1 \\ \sum_{k=2}^n a(k-2) &\text{, se } n\geq 2\; .\end{cases}\]
A questo punto, dovrai esplicitare la sommatoria, ma il grosso è fatto senza conti.
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