Successioni definite per ricorrenza
Salve a tutti, il seguente esercizio mi ha creato un pò di dubbi perchè non mi viene fornito il valore di \(\displaystyle a_0 \):
studiare il carattere della seguente successione all'interno del suo insieme di definizione
\(\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{5+4a_n} \)
Grazie!
studiare il carattere della seguente successione all'interno del suo insieme di definizione
\(\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{5+4a_n} \)
Grazie!
Risposte
La equazione alle differenze puo' essere scritta nella forma...
$\Delta_{n}= a_{n+1}-a_{n}= \sqrt{5 + 4\ a_{n}} - a_{n} = f(a_{n}) $ (1)
La funzione $f(x)= \sqrt {5+4\ x}-x$ e' raffigurata qui...
[img]http://www.123homepage.it/u/i66318203._szw380h285_.jpg.jfif[/img]
Vi e' un solo 'punto fisso attrattivo' [un punto cioe' in cui e' f(x)=0 e f'(x)<0...] in x=5 e, dal momento che il valore assoluto della derivata in x=5 e' minore di 1, ogni valore iniziale $a_{0}> - \frac{5}{4}$ produrra' una sequenza che converge monotonicamente a 5...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\Delta_{n}= a_{n+1}-a_{n}= \sqrt{5 + 4\ a_{n}} - a_{n} = f(a_{n}) $ (1)
La funzione $f(x)= \sqrt {5+4\ x}-x$ e' raffigurata qui...
[img]http://www.123homepage.it/u/i66318203._szw380h285_.jpg.jfif[/img]
Vi e' un solo 'punto fisso attrattivo' [un punto cioe' in cui e' f(x)=0 e f'(x)<0...] in x=5 e, dal momento che il valore assoluto della derivata in x=5 e' minore di 1, ogni valore iniziale $a_{0}> - \frac{5}{4}$ produrra' una sequenza che converge monotonicamente a 5...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
questo modo di risolvere le successioni per ricorrenza è davvero affascinante ... devo approfondire assolutamente 
Ti ringrazio chisigma, non conoscevo questo metodo!
volevo chiederti solo un'altra cosa. Quale risultato teorico mi assicura che se la derivata di \(\displaystyle f \) in quel punto è minore di uno, la successione \(\displaystyle a_n \) è monotona e quindi ammette limite?
volevo chiederti solo un'altra cosa. Quale risultato teorico mi assicura che se la derivata di \(\displaystyle f \) in quel punto è minore di uno, la successione \(\displaystyle a_n \) è monotona e quindi ammette limite?
Circa un anno fa su un sito matematico in lingua inglese ho scritto un articolo 'tutoriale' sulle equazioni alle differenze in cui, tra le altre cose. e' spiegata in dettaglio la tecnica risolutiva usata nel precedente post...
http://www.mathhelpboards.com/f15/diffe ... art-i-426/
Onestamente non so se una tecnica in qualche modo simile a questa sia stata usata o anche solo descritta. Il suo vantaggio e' che consente in qualche modo di 'banalizzare' il problema di stabilire le condizioni per le quali la soluzione di una equazione alle differenze converge. Il suo svantaggio e' che il suo campo di applicazione e' limitato alle equazioni alle differenze del primo ordine che possono essere scritte nella forma...
$\Delta_{n}= a_{n+1}-a_{n} = f(a_{n})$ (1)
... in cui cioe' $f(*)$ e' funzione della sola $a_{n}$ e non di n...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
http://www.mathhelpboards.com/f15/diffe ... art-i-426/
Onestamente non so se una tecnica in qualche modo simile a questa sia stata usata o anche solo descritta. Il suo vantaggio e' che consente in qualche modo di 'banalizzare' il problema di stabilire le condizioni per le quali la soluzione di una equazione alle differenze converge. Il suo svantaggio e' che il suo campo di applicazione e' limitato alle equazioni alle differenze del primo ordine che possono essere scritte nella forma...
$\Delta_{n}= a_{n+1}-a_{n} = f(a_{n})$ (1)
... in cui cioe' $f(*)$ e' funzione della sola $a_{n}$ e non di n...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Grazie mille, adesso guardo il tutorial, ma la risoluzione mi ha convinto.
cordiali saluti
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