Successioni definite per occorrenza non dipendenti da N
Salve a tutti sto studiando la teoria delle successioni definite per occorrenza e viene definita la successione definita per occorrenza non dipendente da \(\displaystyle n \in N \) attraverso una funzione \(\displaystyle f : R \rightarrow R \), scegliendo un \(\displaystyle x_0 \in R \) e ponendo che rimane unicamente determinata una successione \(\displaystyle {{x_n}} \subset R \) tale che per ogni \(\displaystyle n \in N^* \) \(\displaystyle x_n = f(x_{n-1}) \).
Mi potreste fare un esempio di una successione di questo tipo?
Ringrazio tutti coloro che mi aiuteranno
Mi potreste fare un esempio di una successione di questo tipo?
Ringrazio tutti coloro che mi aiuteranno
Risposte
Ciao MikyGio,
Le successioni definite per occorrenza non le ho mai sentite, mentre ho sentito quelle definite per ricorrenza...
Poi, premesso che non ho capito benissimo l'esempio che chiedi e quindi potrei anche dire delle sonore fesserie, mi viene in mente il metodo di Newton-Raphson per la determinazione della soluzione dell'equazione $f(x) = 0$.
L'idea è quella di approssimare localmente $f(x)$ con una opportuna funzione lineare. Sia $f: [a, b] \rightarrow \RR$ di classe $C^1[a, b]$ con $f(a) < 0 < f(b)$. Per la formula di Taylor al primo ordine
$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$
per $x \to x_0$, si può approssimare linearmente $f(x)$, nei dintorni di $x_0$, con l'equazione della retta tangente al grafico di $f(x)$ e passante per il punto $P_0(x_0, f(x_0))$:
$y(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Tale retta ha senz'altro un'unica intersezione con l'asse delle $x$. Approssimiamo $c$, unico zero dell'equazione $f(x) = 0$, con $x_1$, unico zero di $y(x)$ che, per l'equazione precedente, è
$x_1 = x_0 - frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$
Affinché quest'ultima equazione abbia un senso, si deve naturalmente supporre $f'(x) \ne 0$. Poiché per ipotesi $f'(x)$ è continua, necessariamente è di segno costante e, con le nostre ipotesi, si ha $f'(x) > 0$ in $[a, b]$. Sussiste il seguente
Teorema di Newton-Raphson
Sia $f: [a, b] \rightarrow \RR$ convessa e di classe $C^1[a, b]$ con $f(a) < 0 < f(b)$ e [tex]\min_{\substack{x \in [a, b]}} f'(x) >0[/tex]. Allora la successione definita per ricorrenza
$x_{n} = x_{n - 1} - frac{f(x_{n - 1})}{f'(x_{n - 1})} \qquad \qquad $ [tex]n \in \mathbb{N}^* := \mathbb{N} - \{0\}[/tex]
è monotona decrescente e convergente a $c$, unico zero dell'equazione $f(x) = 0$ (infatti $f'(x) > 0$ in $[a, b] \implies f(x)$ strettamente crescente), cioè si ha:
$c = lim_{n \to +\infty} x_n \in [a, b]$, $f(c) = 0$
Esempio: calcolo di $\sqrt{2}$
La funzione $f(x) := x^2 - 2$ è definita in $\RR$, ivi convessa e di classe $C^{\infty}(\RR)$. Si ha $f(1) = - 1 < 0 < f(2) = 2$ e $f'(x) = 2x > 0$ se $1 \le x \le 2$, per cui sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di Newton-Raphson e la successione definita per ricorrenza convergente a $sqrt{2}$ è la seguente:
$x_{n} = x_{n - 1} - frac{x_{n - 1}^2 - 2}{2x_{n - 1}} = frac{1}{2}(x_{n - 1} + frac{2}{x_{n - 1} }) \qquad \qquad $ [tex]n \in \mathbb{N}^* := \mathbb{N} - \{0\}[/tex]
ove $x_0 = 2$.
Le successioni definite per occorrenza non le ho mai sentite, mentre ho sentito quelle definite per ricorrenza...
Poi, premesso che non ho capito benissimo l'esempio che chiedi e quindi potrei anche dire delle sonore fesserie, mi viene in mente il metodo di Newton-Raphson per la determinazione della soluzione dell'equazione $f(x) = 0$.
L'idea è quella di approssimare localmente $f(x)$ con una opportuna funzione lineare. Sia $f: [a, b] \rightarrow \RR$ di classe $C^1[a, b]$ con $f(a) < 0 < f(b)$. Per la formula di Taylor al primo ordine
$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$
per $x \to x_0$, si può approssimare linearmente $f(x)$, nei dintorni di $x_0$, con l'equazione della retta tangente al grafico di $f(x)$ e passante per il punto $P_0(x_0, f(x_0))$:
$y(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Tale retta ha senz'altro un'unica intersezione con l'asse delle $x$. Approssimiamo $c$, unico zero dell'equazione $f(x) = 0$, con $x_1$, unico zero di $y(x)$ che, per l'equazione precedente, è
$x_1 = x_0 - frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$
Affinché quest'ultima equazione abbia un senso, si deve naturalmente supporre $f'(x) \ne 0$. Poiché per ipotesi $f'(x)$ è continua, necessariamente è di segno costante e, con le nostre ipotesi, si ha $f'(x) > 0$ in $[a, b]$. Sussiste il seguente
Teorema di Newton-Raphson
Sia $f: [a, b] \rightarrow \RR$ convessa e di classe $C^1[a, b]$ con $f(a) < 0 < f(b)$ e [tex]\min_{\substack{x \in [a, b]}} f'(x) >0[/tex]. Allora la successione definita per ricorrenza
$x_{n} = x_{n - 1} - frac{f(x_{n - 1})}{f'(x_{n - 1})} \qquad \qquad $ [tex]n \in \mathbb{N}^* := \mathbb{N} - \{0\}[/tex]
è monotona decrescente e convergente a $c$, unico zero dell'equazione $f(x) = 0$ (infatti $f'(x) > 0$ in $[a, b] \implies f(x)$ strettamente crescente), cioè si ha:
$c = lim_{n \to +\infty} x_n \in [a, b]$, $f(c) = 0$
Esempio: calcolo di $\sqrt{2}$
La funzione $f(x) := x^2 - 2$ è definita in $\RR$, ivi convessa e di classe $C^{\infty}(\RR)$. Si ha $f(1) = - 1 < 0 < f(2) = 2$ e $f'(x) = 2x > 0$ se $1 \le x \le 2$, per cui sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di Newton-Raphson e la successione definita per ricorrenza convergente a $sqrt{2}$ è la seguente:
$x_{n} = x_{n - 1} - frac{x_{n - 1}^2 - 2}{2x_{n - 1}} = frac{1}{2}(x_{n - 1} + frac{2}{x_{n - 1} }) \qquad \qquad $ [tex]n \in \mathbb{N}^* := \mathbb{N} - \{0\}[/tex]
ove $x_0 = 2$.
Più prosaicamente, considera la successione definita per ricorrenza da:
\[
\begin{cases}
x_n = q\cdot x_{n-1} &\text{ , se } n\geq 1\\
x_0 =\alpha
\end{cases}\; ,
\]
in cui $alpha$ e $q$ sono numeri reali fissati.
Tale successione si chiama progressione geometrica di primo termine $alpha$ e ragione $q$.
Ti puoi divertire a ricavare l'espressione esplicita di $x_n$ facendo due contarielli.
Ah, ovviamente, in questo caso hai $f(x):= q*x$.
\[
\begin{cases}
x_n = q\cdot x_{n-1} &\text{ , se } n\geq 1\\
x_0 =\alpha
\end{cases}\; ,
\]
in cui $alpha$ e $q$ sono numeri reali fissati.
Tale successione si chiama progressione geometrica di primo termine $alpha$ e ragione $q$.
Ti puoi divertire a ricavare l'espressione esplicita di $x_n$ facendo due contarielli.
Ah, ovviamente, in questo caso hai $f(x):= q*x$.
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