Successioni debolmente di Cauchy

[dissonance]

In uno spazio normato $(E, ||*||)$, se una successione $(x_n)$ è debolmente di Cauchy (ovvero $\langlex', x_n\rangle$ è di Cauchy per ogni $x'\inE'$), quali ipotesi su $E$ si possono aggiungere perché sia debolmente convergente?

[dissonance]

Forse se $E$ è riflessivo funziona? In questo caso la successione di elementi di $E''$ definita da $(\langle*, x_n\rangle)_{n\inNN}$ risulta puntualmente convergente, quindi per il principio dell'uniforme limitatezza ($E'$ è di Banach) converge ad un elemento di $E''$. Ma $E''=E$ (so che non è corretto ma è per spiegare l'idea) e quindi questo fantomatico "elemento di $E''$ " è in realtà un $x\inE$.

Riscrivendo in simboli: $\langlex', x_n\rangle\to\langlex', x\rangle$ per ogni $x'\inE'$, ovvero la convergenza debole.
Che ne dite?

[dissonance]

Riprendo questo topic, perché credo di avere finalmente trovato un esempio a riguardo.
Voglio dimostrare che esistono successioni debolmente di Cauchy ma non debolmente convergenti. A questo scopo considero lo spazio $(E, ||*||)=(C([0, 1]), ||*||_infty)$ e la successione $(f_n)_{n\inNN}$ definita da $f_n(x)=x^n$.

Tre osservazioni preliminari:
1) $E'$ contiene la parte $A'={delta_x\ |\ x\in[0, 1]}$ ($delta$ di Dirac concentrate in $x$).
2) Si può dimostrare (ma non lo faccio) che $A'$ è una parte totale di $E'$ (ovvero $\bar{"span"}(A')=E'$).
3) Lemma: Sia $X$ uno spazio normato, $(x_n)_{n\inNN}$ una successione in $X$, $A'\sub X'$ una parte totale. Sono equivalenti:
a) $(x_n)$ è debolmente di Cauchy;
b) $(x_n)$ è limitata in norma e $\langle a', x_n \rangle$ è di Cauchy per ogni $a' \in A'$.

dimostrazione del lemma
$a) => b)$ essendo $(x_n)$ debolmente di Cauchy, l'insieme ${x_n\ |\ n\inNN}$ è debolmente limitato. E' una classica applicazione del principio della limitatezza uniforme mostrare che ${x_n\ |\ n\inNN}$ è limitato in norma. Il fatto che $\langle a', x_n \rangle$ sia di Cauchy è ovvio.
$b) => a)$ Dall'ipotesi discende subito che $\langle a', x_n\rangle$ è di Cauchy anche per ogni $a'\in "span"(A')$.
Sia $M>0$ tale che $||x_n||<=M$, $x'\inX'$. Per ogni $n, m\in NN$ sussiste la disuguaglianza
$|\langlex', x_n\rangle - \langle x', x_m\rangle|<=|\langlex'-a', x_n-x_m\rangle+\langle a', x_n-x_m\rangle|<=||x'-a'||_{X'}2M+|\langle a', x_n-x_m\rangle|$
A patto di scegliere $a'$ perché $||x'-a'||$ sia piccolo e $n, m$ sufficientemente grandi, segue la tesi.

Con questi strumenti si vede immediatamente che la successione $(f_n)$ di sopra non è debolmente convergente. Difatti segue subito dall'osservazione 1) che la convergenza debole in $C([0, 1])$ implica la convergenza puntuale; ed è immediato vedere che $f_n$ non converge puntualmente ad una funzione continua.
Ma $(f_n)$ è debolmente di Cauchy per via dell'osservazione 3): infatti $||f_n||_infty<=1$ e \(\langle \delta_x, f_n \rangle = x^n\) è di Cauchy per ogni $x\in[0, 1]$.

Concludo che la successione $(f_n)$, pur essendo debolmente di Cauchy non è debolmente convergente. Questo è compatibile con quanto detto nel post precedente, perché lo spazio $C([0, 1])$ non è riflessivo.