Successioni convergenti $<=>$ sotto-sottosucc. convergenti
E' noto che vale la seguente:
data $(u_n)_n$ successione, e $c$ (non sono preciso volutamente) le seguenti sono equivalenti:
$a)$ $u_n \to c$
$b)$ per ogni sottosuccessione di $(u_n)_n$ esiste una sotto-sottosuccessione che converge a $c$.
Conosco una dimostrazione di questo risultato in spazi metrici. Mi domando quanto sia necessario fare questo in metrici.
Ad esempio, la posso generalizzare a reti in spazi topologici?
Un po' tutto questo ragionamento nasceva dalla domanda: è vero che le misure di Radon (per esempio su $RR^N$) con massa totale minore od uguale a $1$ sono uno spazio metrico? Direi di si, per il teorema di Banach-Alaoglu (o un nome simile, forse Bourbaki-Alaoglu). Quindi posso usare la proposizione precedente!
data $(u_n)_n$ successione, e $c$ (non sono preciso volutamente) le seguenti sono equivalenti:
$a)$ $u_n \to c$
$b)$ per ogni sottosuccessione di $(u_n)_n$ esiste una sotto-sottosuccessione che converge a $c$.
Conosco una dimostrazione di questo risultato in spazi metrici. Mi domando quanto sia necessario fare questo in metrici.
Ad esempio, la posso generalizzare a reti in spazi topologici?
Un po' tutto questo ragionamento nasceva dalla domanda: è vero che le misure di Radon (per esempio su $RR^N$) con massa totale minore od uguale a $1$ sono uno spazio metrico? Direi di si, per il teorema di Banach-Alaoglu (o un nome simile, forse Bourbaki-Alaoglu). Quindi posso usare la proposizione precedente!
Risposte
Il risultato per successioni è vero in ogni spazio topologico, e presumo che lo stesso valga per le reti. La dimostrazione è facile: se ogni estratta di \(u_n\) contiene una estratta convergente a \(c\), supponendo per assurdo che \(u_n\) non converga a \(c\) si avrebbe l'esistenza di un intorno di \(c\) e di una estratta di \(u_n\) definitivamente non in tale intorno. Ma detta estratta dovrebbe contenere a sua volta una estratta definitivamente nell'intorno selezionato e questa è una contraddizione.
Quanto alle misure di Radon, mi pare che tu stia parlando della sfera unitaria di uno spazio di Banach e quindi in particolare di uno spazio metrico. Difatti lo spazio delle misure di Radon limitate coincide col duale di \(C_0(\mathbb{R}^N)\), inteso come spazio delle funzioni continue convergenti a zero all'infinito.
Quanto alle misure di Radon, mi pare che tu stia parlando della sfera unitaria di uno spazio di Banach e quindi in particolare di uno spazio metrico. Difatti lo spazio delle misure di Radon limitate coincide col duale di \(C_0(\mathbb{R}^N)\), inteso come spazio delle funzioni continue convergenti a zero all'infinito.
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