Successioni convergenti
ragazzi ho un dubbio: una successione convergente è anche limitata e il lim coincide con l'estremo inf o sup
ad esempio ${1/n}$ è lim superiormente da 1 che è il massimo dell'insieme {1/n} e inferiormente da 0 che è il lim a cui converge;
si può dire il contrario? cioè che una successione limitata converge? mi sembra di sì vero?
ad esempio ${1/n}$ è lim superiormente da 1 che è il massimo dell'insieme {1/n} e inferiormente da 0 che è il lim a cui converge;
si può dire il contrario? cioè che una successione limitata converge? mi sembra di sì vero?
Risposte
Ovviamente sono false entrambe le cose che hai scritto.
Se una successione converge, questa è certamente limitata; tuttavia non vedo perché il limite deve coincidere con il superiore... Prendi $a_n = (-1)^n * 1/n$, per esempio.
Se una successione è limitata, invece, non è detto che sia convergente. Pensa per esempio a $b_n = sin(pi/2 * n )$.
Se una successione converge, questa è certamente limitata; tuttavia non vedo perché il limite deve coincidere con il superiore... Prendi $a_n = (-1)^n * 1/n$, per esempio.
Se una successione è limitata, invece, non è detto che sia convergente. Pensa per esempio a $b_n = sin(pi/2 * n )$.
cmq è vero che una successione convergente è limitata, ok grazie
quello è certo, ma sull'altro punto l'unica cosa che puoi dire è che da una successione limitata puoi estrarre una sottosuccessione convergente (teorema di bolzano-weierstrass).
cmq possiamo dire che se una funzione è limitata e monotona allora essa e convergente! escludendo quindi le funzioni periodiche che non sono monotone!
Sì, per il teorema di esistenza del limite per funzioni monotone.
fai attenzione però:
seneca ha messo un seno solo per scriverti una successione limitata non convergente. non ha nulla a che vedere con la periodicità.
anche la successione \(1,\underbrace{0}_{1\text{ zero}},1,\underbrace{0,0}_{2\text{ zeri}},1,\underbrace{0,0,0}_{3\text{ zeri}},1,\underbrace{0,0,0,0}_{4\text{ zeri}},1,\underbrace{0,...,0}_{n\text{ zeri}},...\) è limitata e non convergente (e chiaramente non periodica)
in uno spazio completo (ad esempio in \(\mathbb R\)), limitata e monotona implica convergente. se fossimo in \(\mathbb Q\) non sarebbe vero. prova a spiegare perché.
seneca ha messo un seno solo per scriverti una successione limitata non convergente. non ha nulla a che vedere con la periodicità.
anche la successione \(1,\underbrace{0}_{1\text{ zero}},1,\underbrace{0,0}_{2\text{ zeri}},1,\underbrace{0,0,0}_{3\text{ zeri}},1,\underbrace{0,0,0,0}_{4\text{ zeri}},1,\underbrace{0,...,0}_{n\text{ zeri}},...\) è limitata e non convergente (e chiaramente non periodica)
in uno spazio completo (ad esempio in \(\mathbb R\)), limitata e monotona implica convergente. se fossimo in \(\mathbb Q\) non sarebbe vero. prova a spiegare perché.
perché in parole povere la distanza tra i numeri non tende a ridursi sempre di più come in $RR$ nelle successioni di Cauchy, non so in maniera più formale come dirlo
... Ma non l'hai neppure detto in lingua italiana!
potresti dirlo così:
trovi due valori \(\bar a\) e \(\bar b\) tali che \(\bar a>\bar b\) e dimostri che
1) \(\forall n\) si ha che \(\exists m>n\) tale che \(a_m>\bar a\)
2) \(\forall n\) si ha che \(\exists m'>n\) tale che \(a_{m'}<\bar b\)
cioè la successione continua a prendere valori più alti di \(\bar a\) e più piccoli di \(\bar b\), per cui non converge.
trovi due valori \(\bar a\) e \(\bar b\) tali che \(\bar a>\bar b\) e dimostri che
1) \(\forall n\) si ha che \(\exists m>n\) tale che \(a_m>\bar a\)
2) \(\forall n\) si ha che \(\exists m'>n\) tale che \(a_{m'}<\bar b\)
cioè la successione continua a prendere valori più alti di \(\bar a\) e più piccoli di \(\bar b\), per cui non converge.
grazie Seneca molto gentile ho cercato di farmi capire in parole semplici mi sembra si capisca il messaggio
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