Successioni con funzioni indicatrici

[Chicco_Stat_1]

Salve a tutti! mi trovo a fare qualche esercizietto di inizio corso di teoria della misura, e c'è qualche richiamo di successioni di funzioni e convergenza..
mi sono saltate fuori delle successioni con la funzione indicatrice dentro, non sono sicuro di aver capito bene come fare..
allora.. devo determinare il limite puntuale di alcune successioni di funzioni nell'intervallo $[0,1]$ e stabilire se vale l'uguaglianza

$int_0^1 lim_(n->oo) f_n(x)dx = lim_(n->oo) int_0^1 f_n(x)dx$

una delle successioni per esempio è

$f_n(x)=n*chi_((0,1/n])(x)$

ovvero dovrebbe essere

$f_n(x)=\{(n, x in (0,1/n]),(0,text{altrove}):}

mi viene da dire che $f_n(x)$ converge come successione puntualmente all'applicazione nulla (ma qui il primo dubbio, lo zero nel mezzo?)
la confusione mi nasce dal fatto di non aver praticamente mai lavorato con funzioni indicatrici, ho poca dimestichezza...
qualche suggerimento?

[Camillo]

La convergenza è puntuale alla funzione identicamente nulla, eccetto che nell'origine.
Quindi la situazione è che una successione di funzioni continue converge a una funzione discontinua .
Allora la convergenza non è uniforme e per un noto teorema non è possibile operare lo scambio tra segno di integrale e passaggio al limite .
Quindi $int_0^1 lim_(n to oo) f_n(x)dx $ $ne lim_(n to oo) int_0^1 f_n(x)dx $.
Infatti $int_0^1 lim_(n to oo) f_n(x)dx=int_0^1 0*dx = 0 $ (essendo $ lim_(n to oo)f_n(x) = 0 $ q.o.), mentre
$int_0^1f_n(x)dx = int_0^(1/n)n*dx= 1 ne 0 $.
Immagino che quel che tu chiami funzione indicatrice $chi $ io lo conoscvo come funzione caratteristica dell'intervallo.

[Chicco_Stat_1]

perfetto Camillo, grazie infinite.

E si, parlo di funzione caratteristica dell'intervallo

grazie ancora