Successioni
Io ho sempre saputo che una successione è una funzione definita su un insieme (chiamiamolo) $D$ sottoinsieme dell'insieme $NN$ dei numeri naturali, ove eventualmente può essere $D = NN$.
Oggi il prof. di Analisi (non era quello titolare del corso ma uno che lo sostituiva) ha tirato fuori questa definizione: "Solitamente siete abituati a vedere una successione come una funzione su $NN$, ma non è detto che il dominio debba essere tutto $NN$; prendete per esempio la successione definita dall'equazione $sqrt(n-7)=a_n$: in questo caso per $n in {1,2,3,4,5,6}$ non possiamo calcolare $a_n$. Bene: sarebbe più corretto dire che una successione è una funzione che ha come dominio un insieme equipotente a $NN$"
Ora, non voglio contestare, ma anche $QQ$ è equipotente a $NN$ essendo numerabile, quindi anche una funzione su $QQ$ dovrebbe essere una successione, e la cosa mi suona strana. Cos'è che non ho capito?
Oggi il prof. di Analisi (non era quello titolare del corso ma uno che lo sostituiva) ha tirato fuori questa definizione: "Solitamente siete abituati a vedere una successione come una funzione su $NN$, ma non è detto che il dominio debba essere tutto $NN$; prendete per esempio la successione definita dall'equazione $sqrt(n-7)=a_n$: in questo caso per $n in {1,2,3,4,5,6}$ non possiamo calcolare $a_n$. Bene: sarebbe più corretto dire che una successione è una funzione che ha come dominio un insieme equipotente a $NN$"
Ora, non voglio contestare, ma anche $QQ$ è equipotente a $NN$ essendo numerabile, quindi anche una funzione su $QQ$ dovrebbe essere una successione, e la cosa mi suona strana. Cos'è che non ho capito?
Risposte
Va bene la definizione data; la cosa importante per avere una successione è infatti che l'insieme sia numerabile.
1) Quindi anche $f: x in QQ to x^2 in QQ_0^+$ è una successione?
2) Io sapevo che anche una funzione definita su (per esempio) $S={1,2,3,4,5}$ era una successione (che si diceva finita): con questa definizione non lo è più perchè $S$ non è equipotente a $NN$: giusto?
2) Io sapevo che anche una funzione definita su (per esempio) $S={1,2,3,4,5}$ era una successione (che si diceva finita): con questa definizione non lo è più perchè $S$ non è equipotente a $NN$: giusto?
1) Sì, lo è, ma devi numerare Q pe vederla al "solito" modo.
2) secondo la definzione classica no, questa non è una successione.
2) secondo la definzione classica no, questa non è una successione.
"Luca.Lussardi":
2) secondo la definzione classica no, questa non è una successione.
Solo un'ultima cosa e poi non rompo più le scatole: qual'è la definizione classica? Quella coi sottoinsiemi infiniti di $NN$ o quella con un qualunque insieme numerabile?
Di solito, a livello di analisi 1, si dà la definizione classica su tutto $N$. Se uno ha un suo sottoinsieme proprio numerabile rinumera l'insieme e si ritrova nella definizione classica. Ciò vale anche nel caso di insiemi qualunque numerabili.
Penso di aver capito. Grazie mille.
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