Successioni
ho un dubbio sulle successioni definite per ricorrenza...
se $x_(n+1) = 1+1/(x_n)$ come si fa a trovare il limite? non e' un po' un processo "che si morde la coda"?
se $x_(n+1) = 1+1/(x_n)$ come si fa a trovare il limite? non e' un po' un processo "che si morde la coda"?
Risposte
vedi achille e la tartaruga.....
hai ragione...pero' non sempre sono cosi' semplici queste successioni....so che c'e' un percorso "logico" di arrivare al limite (magari quando i termini pari formano una successione monotona crescente mentre gli altri, decrescente) pero' non riesco ad applicarlo.
esempio:
$x_(n+1)=(x_n-3)/(3-x_n)$ non e' immediato il limite al quale converge
esempio:
$x_(n+1)=(x_n-3)/(3-x_n)$ non e' immediato il limite al quale converge
no no assolutamente no.... però forse ci dovrebbe essere un punto di partenza.... 
.... cioè il dato iniziale
.... cioè il dato iniziale
$x0=0$ cioe' il primo termine della successione e' 0
di entrambe le successioni che hai poastato???
ovviamente no, scusa!
la prima ha $x_0=1$
la prima ha $x_0=1$
beh ma per $x_{n+1}=(x_n -3)/(3-x_n)=-(3-x_n)/(3-x_n)=-1$
quindi $x_n=-1$ $AA n>=1$...... era semplice
quindi $x_n=-1$ $AA n>=1$...... era semplice
ma uffa!
non ci ho pensato! cmq non era quella la successione che non ero riuscita a risolvere...
se fosse $x_(n+1)=(x_n-1)/(x_n+3)$ insomma qualcosa che non si semplifichi, devo trovare il punto fisso, giusto?
mi hanno detto due modi di trovarlo, uno dei quali calcola la derivata prima e la eguaglia a $x$ e trova punto fisso $x=-1$ e poi?
non ci ho pensato! cmq non era quella la successione che non ero riuscita a risolvere...
se fosse $x_(n+1)=(x_n-1)/(x_n+3)$ insomma qualcosa che non si semplifichi, devo trovare il punto fisso, giusto?
mi hanno detto due modi di trovarlo, uno dei quali calcola la derivata prima e la eguaglia a $x$ e trova punto fisso $x=-1$ e poi?
si morde la coda perche' si pone $l=1+1/l$ e gia' qui non capisco il passaggio ( e' chiaro che ha una sua logica e io non metto in dubbio quello, e' che non la capisco!)
ma hai gia' cancellato il post??? 
ho cancellato perchè ho sbagliato, volevo fare un altra cosa... comunque è $a_(l+1)=1+1/a_l$, cioè, noto un punto, ci fai una certa operazione e trovi il successivo, etc. non consiglio di cercare la soluzione in forma esatta per trovare il limite
ma qual è la condizione iniziale?
la successione parte da uno, ma non è che questa informazione serve a molto (cioe, serve ma poco)
Io farei così:
- $forall n in NN, \ x_n>=-3$,
infatti, per induzione, $x_0=1$ e se $x_n>=-3$, allora è vero che $x_(n+1)=(x_n - 1)/(x_n +3)>=-3$ (e salvo errori direi di sì)
- $forall n in NN, \ x_(n+1)<=x_n$, cioè è decrescente, perciò ha limite e per di più finito per il punto precedente
- $lim_{n->oo} x_(n+1)=L=lim_{n->oo} x_n=(L-1)/(L+3)$, perciò $L=-1$
Al di là di probabilissimi errori, più o meno così dovrebbe funzionare...
- $forall n in NN, \ x_n>=-3$,
infatti, per induzione, $x_0=1$ e se $x_n>=-3$, allora è vero che $x_(n+1)=(x_n - 1)/(x_n +3)>=-3$ (e salvo errori direi di sì)
- $forall n in NN, \ x_(n+1)<=x_n$, cioè è decrescente, perciò ha limite e per di più finito per il punto precedente
- $lim_{n->oo} x_(n+1)=L=lim_{n->oo} x_n=(L-1)/(L+3)$, perciò $L=-1$
Al di là di probabilissimi errori, più o meno così dovrebbe funzionare...
Il problema di trovare una formula "chiusa" per successioni definite per
ricorrenza ( e quindi di studiarne la convergenza) puo' essere risolto anche
con l'uso degli operatori (finiti).
Poniamo :
$Delta a_n =a_(n+1)-a_n $ da cui $a_(n+1)=(Delta+1)a_n=Ea_n$ ,essendo $E=Delta+1$ ,con "1" operatore identico
che lascia cioe' invariata la quantita' a cui viene applicato.
Se scriviamo $x_n=(y_n)/(z_n) $ la formula di ricorrenza data diventa:
$(y_(n+1))/(z_(n+1))=(y_n-z_n)/(y_n+3z_n)$ che si puo' ragionevolmente trasformare nel sistema:
(1) ${(y_(n+1)-y_n+z_n=0),(y_n-z_(n+1)+3z_n=0):}$ con le condizioni iniziali $y_o=z_o=1$
Facendo ora uso dell'operatore E , si puo' anche scrivere:
${((E-1)y_n+z_n=0),(y_n-(E-3)z_n=0):}$
Moltiplichiamo la prima equaziome per E-3 e risulta:
${((E-3)(E-1)y_n+(E-3)z_n=0),(y_n-(E-3)z_n=0):}$
Sommando si ha:
$(E-1)(E-3)y_n+y_n=0$
L'equazione caratteristica e' allora:
$E^2-4E+4=0$ che ha la radice doppia $E=2$
Ne segue la soluzione :
$y_n=C_1 2^n+C_2 n* 2^n$ che sostituita nella prima delle (1) porta al valore di
$z_n=C_1 2^n+C_2 n* 2^n-C_1 2^(n+1)-C_2 (n+1)*2^(n+1)$
Ponendo $n=0,y_o=z_0=1$ si ottengono le due costanti $C_1=1,C_2=-1$
e quindi la soluzione:
$x_n=(y_n)/(z_n)=(2^n-n*2^n)/(2^n-n*2^n-2^(n+1)+(n+1)2^(n+1)$
Infine eliminando il fattore comune (non nullo) $2^n$ si ottiene la soluzione cercata
$x_n=(1-n)/(1+n)$ da cui e' facile derivare la convergenza della successione a -1
karl
ricorrenza ( e quindi di studiarne la convergenza) puo' essere risolto anche
con l'uso degli operatori (finiti).
Poniamo :
$Delta a_n =a_(n+1)-a_n $ da cui $a_(n+1)=(Delta+1)a_n=Ea_n$ ,essendo $E=Delta+1$ ,con "1" operatore identico
che lascia cioe' invariata la quantita' a cui viene applicato.
Se scriviamo $x_n=(y_n)/(z_n) $ la formula di ricorrenza data diventa:
$(y_(n+1))/(z_(n+1))=(y_n-z_n)/(y_n+3z_n)$ che si puo' ragionevolmente trasformare nel sistema:
(1) ${(y_(n+1)-y_n+z_n=0),(y_n-z_(n+1)+3z_n=0):}$ con le condizioni iniziali $y_o=z_o=1$
Facendo ora uso dell'operatore E , si puo' anche scrivere:
${((E-1)y_n+z_n=0),(y_n-(E-3)z_n=0):}$
Moltiplichiamo la prima equaziome per E-3 e risulta:
${((E-3)(E-1)y_n+(E-3)z_n=0),(y_n-(E-3)z_n=0):}$
Sommando si ha:
$(E-1)(E-3)y_n+y_n=0$
L'equazione caratteristica e' allora:
$E^2-4E+4=0$ che ha la radice doppia $E=2$
Ne segue la soluzione :
$y_n=C_1 2^n+C_2 n* 2^n$ che sostituita nella prima delle (1) porta al valore di
$z_n=C_1 2^n+C_2 n* 2^n-C_1 2^(n+1)-C_2 (n+1)*2^(n+1)$
Ponendo $n=0,y_o=z_0=1$ si ottengono le due costanti $C_1=1,C_2=-1$
e quindi la soluzione:
$x_n=(y_n)/(z_n)=(2^n-n*2^n)/(2^n-n*2^n-2^(n+1)+(n+1)2^(n+1)$
Infine eliminando il fattore comune (non nullo) $2^n$ si ottiene la soluzione cercata
$x_n=(1-n)/(1+n)$ da cui e' facile derivare la convergenza della successione a -1
karl
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