Successioni
Il mio compito è dimostrare queste successioni:
$F_(n+1)*F_(n-1)-(F_n)^2=(-1)^n$ $AAn>=1$
Ora io ho trasformato $F_(n+1)*F_(n-1)$ in $F_(n^2-1)$ che sommato a $-(F_n)^2$ e mi viene $F_-1=(-1)^n$
Ora esamino come cambia $(-1)^n$ al variare di $n$: quando $n$ è pari mi viene $1$ e quando $n$ è dispari mi viene $-1$. Mentre dall'altra parte ho un numero fisso che non può variare... cosa è più probabile? Che abbia sbagliato il procedimento o che abbia sbagliato a copiare?
Ora ecco la seconda (questa non l'ho proprio capita):
$F_1+F_3+...+F_(2n-1)=(F_2)^n$ $AA n>=1$
A primo membro avrò la sommatoria di tutti i numeri dispari, quindi a secondo membro, per logica, non dovrei avere $(F_n)^2$?
A chi mi volesse aiutare sarei grato se omettesse le soluzioni del secondo e si limitasse, con gentilezza, ad esporre una spiegazione... almeno imparo
avevo sbagliato a scrivere il secondo termine del secondo esercizio... ora ho corretto
$F_(n+1)*F_(n-1)-(F_n)^2=(-1)^n$ $AAn>=1$
Ora io ho trasformato $F_(n+1)*F_(n-1)$ in $F_(n^2-1)$ che sommato a $-(F_n)^2$ e mi viene $F_-1=(-1)^n$
Ora esamino come cambia $(-1)^n$ al variare di $n$: quando $n$ è pari mi viene $1$ e quando $n$ è dispari mi viene $-1$. Mentre dall'altra parte ho un numero fisso che non può variare... cosa è più probabile? Che abbia sbagliato il procedimento o che abbia sbagliato a copiare?
Ora ecco la seconda (questa non l'ho proprio capita):
$F_1+F_3+...+F_(2n-1)=(F_2)^n$ $AA n>=1$
A primo membro avrò la sommatoria di tutti i numeri dispari, quindi a secondo membro, per logica, non dovrei avere $(F_n)^2$?
A chi mi volesse aiutare sarei grato se omettesse le soluzioni del secondo e si limitasse, con gentilezza, ad esporre una spiegazione... almeno imparo
avevo sbagliato a scrivere il secondo termine del secondo esercizio... ora ho corretto
Risposte
1)
$f_(n+1)f_(n-1)-f_(n)^2=(f_(n)+f_(n-1))(f_(n)-f_(n-2))-f_(n)^2$
Svolgendo i calcoli si ottiene
$(f_(n)+f_(n-1))(f_(n)-f_(n-2))-f_(n)^2=-f_(n-2)f_(n)-f_(n-1)(f_(n-2)-f_(n))=-(f_(n-2)f_(n)-f_(n-1)^2)$
Se si pone $t_(n)=f_(n+1)f_(n-1)-f_(n)^2$ si ha dunque $t_(n)=-t_(n-1)$ i.e. $t_(n)=(-1)^(n-1)t_(1)=(-1)^n$ c.v.d.
$f_(n+1)f_(n-1)-f_(n)^2=(f_(n)+f_(n-1))(f_(n)-f_(n-2))-f_(n)^2$
Svolgendo i calcoli si ottiene
$(f_(n)+f_(n-1))(f_(n)-f_(n-2))-f_(n)^2=-f_(n-2)f_(n)-f_(n-1)(f_(n-2)-f_(n))=-(f_(n-2)f_(n)-f_(n-1)^2)$
Se si pone $t_(n)=f_(n+1)f_(n-1)-f_(n)^2$ si ha dunque $t_(n)=-t_(n-1)$ i.e. $t_(n)=(-1)^(n-1)t_(1)=(-1)^n$ c.v.d.
Per il secondo proverei per induzione.
In ogni caso ci sono anche $f_(n)$ pari come $8$ e in ogni caso gli $f_(n)$ non corrispondono con tutti i dispari quindi la somma in questione non può essere pari a $f_(n)^2$.
In ogni caso ci sono anche $f_(n)$ pari come $8$ e in ogni caso gli $f_(n)$ non corrispondono con tutti i dispari quindi la somma in questione non può essere pari a $f_(n)^2$.
Per il secondo ho sbagliato io a scrivere... era $F_1+F_3+...+F_(2n-1)=(F_2)^n$ scusa
comunque sul secondo ero abbastanza sicuro... nel primo dove ho sbagliato nel procedimento?
comunque sul secondo ero abbastanza sicuro... nel primo dove ho sbagliato nel procedimento?
Veramente nel primo non ho capito che vuoi dire...l'enunciato del teorema è giusto, quindi se l'hai dimostrato e ti torna va bene.
"keji":
Per il secondo ho sbagliato io a scrivere... era $F_1+F_3+...+F_(2n-1)=(F_2)^n$ scusa
non andrebbe bene in ogni caso perchè i numeri non sono in progressione aritmetica come lo sono i dispari, $1+3+5...$
Effettivamente non mi torna... ho fatto:
$F_(n+1)*F_(n-1)-(F_n)^2=(-1)^n$
$F_(n^2-1)-F_n^2=(-1)^n$
$F_-1=(-1)^n$
ecco come ho proceduto io...sbagliando, ma dove?
$F_(n+1)*F_(n-1)-(F_n)^2=(-1)^n$
$F_(n^2-1)-F_n^2=(-1)^n$
$F_-1=(-1)^n$
ecco come ho proceduto io...sbagliando, ma dove?
Come fai a dire che $f_(n+1)*f_(n-1)=f_(n^2-1)$?
Ah ok... allora sono un pirla! grazie della pazienza...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo