Successioni

[Sk_Anonymous]

Ciao, chiedo gentilmente un aiuto per questo esercizio. Grazie, bye

Dare un esempio (oppure spiegare perchè non ve ne possono essere) di successioni che soddisfano ognuna delle proprietà seguenti:

1. monotona e non limitata;

2. monotona, limitata e non convergente;

3. convergente e non monotona;

4. limitata e non convergente;

[cavallipurosangue]

Per il primo punto direi semplicemente: $\sum_{n=0}^{+\infty}n$ che monotona crescente e non limitata, infatti diverge sicuramente.

2) $\sum_{n=1}^{+\infty}1/n$ rappresenta una serie monotona decrescente, ma divergente. La classica serie armonica.

3)$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n e^{-n}$ la succesione risulta infinitesima ed assolutamente monotona decrescente, quindi per il criterio di Leibniz converge, ma non è monotona (lo è assolutamente).

4)potrei benissimo usare una serie del punto 2 perchè niente lo vieta, ma ho deciso di usare questa:

$\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-n}+1$ che non converge perchè la successione non è infinitesima, ma è comunque limitata ed anche monotona decrescente

[david_e1]

Si parla di successioni? Se ho capito bene bisogna fare qualche correzione a quello che ha scritto cavallipurosangue.

1. Va bene quella di cavallipurosangue considerando la serie come successione delle somme parziali.

2. Se una successione e' monotona e limitata (immagino che sia da intendere "limitata in modulo") converge per forza. Ad esempio se la successione e' t.c:

$a_n < M \qquad \qquad \forall n $

Allora ammette estremo superiore:

$ m = $sup_n$ a_n $

e se $a_n$ e' crescente allora convergera' verso il sup.... (andrebbe dimostrato rigorosamente)

3. Stesso discorso che per la 1.

4. (-1)^n limitata in modulo da 1 e non convergente.

[cavallipurosangue]

Ah scusate... ho frainteso il testo..

Ho pensato subito alle serie... Scusate