Successioni

[dani821]

chiedo aiuto!!trovare tutte le successioni che tendono a 12 ma non con la metrica euclidea ma con d(x,y)=1 se x è diverso da y e vale zero se x=y.

[Sk_Anonymous]

Una successione di numeri reali converge, rispetto alla metrica che hai dato, se e solo se e' definitivamente costante. Infatti, se una successione converge rispetto ad una certa metrica, allora essa e' di Cauchy; l'unica possibilita' affinche' una successione sia di Cauchy rispetto alla metrica che hai dato, e' che da un certo punto in poi la successione sia costante. Quindi tutte le successioni che convergono a 12 sono tutte le successioni x_n tali che esiste i con x_n=12 per ogni n>i.

Luca.

[dani821]

Ti ringrazio per l'aiuto Luca!!! purtroppo non ho molte basi di matematica e quindi vorrei sapere se ho capito bene: in pratica e intuitivamente arrivo a capire che da un certo punto in poi gli elementi della successione tendono a zero al crescere dell'indice in quanto la somma di un numero arbitrario di termini deve risultare arbitrariamente piccola perchè il limite della successione esista finito. in tutto questo come spiego l'utilizzo della metrica?
la definizione mi dice che deve essere d(x,x_o)= modulo di (X_n - X_0) non so neanche se si capisce la domanda... in pratica sono scarsa in mate e mi ci vorrebbe un camion di aiuti...

[Sk_Anonymous]

Mi pare che hai usato ancora la metrica euclidea... stai facendo un po' di confusione.
La chiave e' coinvolgere le successione di Cauchy. Una successione x_n si dice di Cauchy rispetto ad una metrica d se per ogni epsilon>0 esiste k tale che per ogni n,m >k : d(x_n,x_m)< epsilon. Se una successione converge in metrica d, essa e' di Cauchy rispetto alla metrica d. Quindi se x_n converge a 12 in metrica d, e' di Cauchy in metrica d. Ma se scegli epsilon<1, l'unica possibilita' affinche' valga la condizione di Cauchy e' che d(x_n,x_m)=0, per cui x_n=x_m per tutti gli indici n,m>k, e quindi, come dicevo, la successione e' costante da un certo punto in poi. Chiaramente poi tale costante deve essere 12 dal momento che x_n deve convergere a 12.

Luca.