Successioni

[manlio1]

Il mio libro dice: "una successione convergente è limitata"

ma ad esempio: 1/(n-1) è convergente ma per n=1 fa infinito.

[Camillo]

Suppongo che la successione sia specificata per $n>1 $

[Summerwind78]

ciao

non sono un fenomeno nelle successioni quindi potrei dire una castroneria ma credo che si possa dire che un successione può essere:

limitata superiormente: ovvero raggiunge un valore finito quando $n$ cresce
limitata inferiormente: ovvero raggiunge un valore finito quando $n$ decresce
limitata sia inferiormente che superiormente come unione dei due casi precedenti

Nel tuo caso specifico, è vero che la successione $1/(n-1)$ con $con n=1$ ti da $inf$
ma è altrettanto vero che

$lim_(n->+-oo) 1/(n-1) = 0$

quindi la tua successione è limitata sia superiormente che inferiormente

bisogna anche tenere conto che probabilmente ti è stata data qualche indicazione su quali valori assuma $n$

per esempio potrebbero averti detto che $n>1$ o qualcosa di simile


Chiedo anche io a chi ne sa più di me se non ho sbagliato qualcosa

Saluti

[manlio1]

il limite e sbagliato non può tendere a -infinito perché non esistono numeri naturali negativi e comunque è sbagliato il ragionamento in toto.
Per precisione io volevo solo sapere se: "una successione convergente è limitata" è una frase corretta o errata. L'esempio l'ho portato di mia iniziativa perché dimostra che la frase è per l'appunto errata. Però allo stesso tempo nasce il dubbio se un libro di analisi può fare un errore così grosso; per altro in internet si trova lo stesso teorema.

[manlio1]

e la dimostrazione la fa valere per qualunque n, ecco il mio problema. Se fosse per n>di un certo N allora ci starebbe.

[dan952]

Definitivamente limitata e limitata sono concetti equivalenti per le successioni, credo che la giustificazione di questo sta nel fatto che si lavora su un dominio numerabile, infatti se una successione è definitivamente limitata significa che $EE n_0 \in NN$ t.c $|a_n|0) per ogni $n \geq n_0$ tuttavia possiamo costruire una funzione biiettiva tra $NN$ e $N_{n_0}={n \in NN|n \geq n_0}$ definita come $f(n)=n+n_0$, dunque $|a_{f(n)}|

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[manlio1]

bhe tu però così stai definendo questa f(n) che è il "paraculaggio" che ti permette di prendere le posizioni successive a quell'$n_0$. Però nella dimostrazione di wikipedia ad esempio non lo dice: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_limitatezza

[manlio1]

Io penso a sto punto che per qualche motivo nella storia questo teorema sia sempre stato scritto male e non chiaramente. Concordi??

[donald_zeka]

Da quando in qua si può dividere per zero?

[dan952]

"manlio":Concordi??

Ovviamente no visto che ci hanno messo secoli a sviluppare questa branca della matematica.
Inoltre voglio farti notare che l'ipotesi non è solo che la successione sia convergente ma anche che questa sia a valori reali $\forall n$ e certamente $\frac{1}{n-1}$ non lo è ma la paraculata la rende tale...

[manlio1]

Si infatti ci avevo già pensato in effetti, allora possiamo dichiarare il caso risolto