Successioni

[JDM89]

Sia $(p_n)$ una successione di numeri naturali. Assumiamo di sapere che $p_n rarr oo $ per
$n rarr oo $ . Provare che se una successione $a_n rarr l $, allora anche $ \lim_{n \to \infty} a_(p_n)=l $ .
È vero il viceversa?

Non riesco a capire l'esercizio

[gugo82]

Non c'è bisogno di urlare (click).
Titolo in minuscolo, grazie.

[JDM89]

"gugo82":Non c'è bisogno di urlare (click).
Titolo in minuscolo, grazie.

sorry

[JDM89]

"JDM89":Sia $(p_n)$ una successione di numeri naturali. Assumiamo di sapere che $p_n rarr oo $ per
$n rarr oo $ . Provare che se una successione $a_n rarr l $, allora anche $ \lim_{n \to \infty} a_(p_n)=l $ .
È vero il viceversa?

Non riesco a capire l'esercizio

Credo di aver capito.Per definizione so che tutte le sottosuccessioni di una successione convergente sono convergenti allo stesso valore. Il contrario non è vero; per dimostrarlo basta prendere $ a_n=(-1)^n p_n=2n $

[gugo82]

Il controesempio va bene.

Però nota che il Teorema sulle Successioni Estratte è un caso particolare di quanto ti si chiede di provare... Infatti, per definizione, una successione di indici \((p_n)\) può essere usata per "estrarre" una sottosuccessione da \((a_n)\) solo se \((p_n)\) è strettamente crescente.
Nel testo dell'esercizio c'è un'ipotesi sulla successione di indici \((p_n)\), cioé "\(\lim_n p_n=\infty\)", che è strettamente più debole di quella presente nel suddetto Teorema sulle Estratte, i.e. "\((p_n)\) è strettamente crescente" (difatti, puoi provare che ogni successione di naturali strettamente crescente è divergente, ma che non vale il viceversa... Fallo come esercizio).
Perciò non puoi invocare il Teorema sulle Estratte per svolgere il tuo esercizio!

[JDM89]

mmm allora come si fa?

[Paolo902]

Prova a scriverti quello che sai e quello che vuoi dimostrare, usando le definizioni di limite: sono convinto che vedendo ipotesi e tesi scritte in maniera esplicita ti si accenderà la lampadina...