Successione senza limite?

[Polcio]

Buonasera, ho una domanda riguardante il limite di una successione che mi è venuta in mente come controesempio (rivelatosi fallimentare) della caratterizzazione dei punti di accumulazione in uno spazio metrico.

In breve la caratterizzazione:

Siano [tex](X,d)[/tex] uno spazio metrico, [tex]A \subseteq X[/tex], [tex]A \neq \emptyset[/tex], [tex]x_* \in X[/tex]
Allora [tex]x_*[/tex] è punto di accumulazione per [tex]A[/tex] [tex]\iff[/tex] [tex]\exists x : \mathbb{N} \to A[/tex] avente queste proprietà:

1) [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]x_n \in A[/tex]
2) [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]x_n \neq x_*[/tex]
3) [tex]\lim_{n\to+\infty} x_n = x_*[/tex]
[/list:u:20f2x2j1]

Ho provato a considerare questa successione [tex]x : \mathbb{N} \to A[/tex] (in [tex](A, d)[/tex] con [tex]A = \{0\} \cup \{1\}[/tex] e [tex]d[/tex] distanza euclidea):

[tex]x_n = \left \lfloor{1 - \frac{1}{n}}\right \rfloor[/tex] per [tex]n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}[/tex]

E inizialmente pensavo che:

1) [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]x_n \in A[/tex]
2) [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]x_n \neq 1[/tex]
3) [tex]\lim_{n\to+\infty} x_n = 1[/tex]
[/list:u:20f2x2j1]
Quindi il punto [tex]1[/tex], isolato per definizione, sarebbe stato contemporaneamente anche punto di accumulazione!
Ovviamente ciò è falso, perché dopo aver pensato alla definizione di limite, mi sono accorto che [tex]\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \ : \ \forall n > \nu \quad d(x_n, l) < \varepsilon[/tex] non era sempre soddisfatta: la successione vale sempre [tex]0[/tex] e se il suo limite vale [tex]1[/tex] (? non ne sono sicuro) allora, dopo un certo [tex]\nu[/tex], [tex]d(x_n, l) = d(0,1) < \varepsilon[/tex] se e solo se [tex]\varepsilon > 1[/tex], quindi sicuramente non [tex]\forall \varepsilon[/tex].

Ma allora la successione che ho costruito non ha limite? Intuitivamente (e detto bovinamente) resta a [tex]0[/tex] per ogni [tex]n[/tex] e "salta" a [tex]1[/tex] "all'infinito".
Ma la condizione di limite non è soddisfatta, Quindi posso tranquillamente dire che [tex]\lim_{n\to+\infty} \left \lfloor{1 - \frac{1}{n}}\right \rfloor \quad \nexists[/tex]?

Thanks in advance.

[gugo82]

Quella è una successione costante e quindi converge anche nella topologia più schifosa che tu possa mettere nello spazio ambiente.