Successione ricorsiva con funzione integrale
ciao a tutti.Ho un problema nello studio di una successione definita per ricorrenza,più che altro non riesco bene a risolverle quando il termine $a_(n+1)$ è una funzione integrale.
Normalmente in una successione studio i $punti fissi$ e la $positività$ della funzione $\phi(t)=f(t)-t$
Per quanto riguarda questa successione:
$\{(a_1=1/2),(a_(n+1)=\int_{0}^{a_n^2} sqrt(cost)dt ):}$
la soluzione procede in questo modo,ovvero si calcola la $\phi(x)$:
$\phi(x)=f(x)-x=\int_{0}^{x^2} sqrt(cost)dt -x=\int_{0}^{x^2} (sqrt(cost))-1/(2sqrt(x))dt
quì primo quesito..da dove esce $-1/(2sqrt(x)$ ?
successivamente poi non ho capito bene come prosegue.Cioè dice che $\phi(0)=0$(poichè l'integrale sarebbe nullo) e fin quì ok, ma in questo modo è $l'unico$ punto fisso??successivamente studia la derivata prima in questo modo:
$\phi^i(x)=2x(sqrt(cosx^2)-1/(2|x|)) , x!=0$
da quì lui conosce l'andamento della funzione prima e dopo lo zero, cioè cresce prima dello zero,decresce dopo.
infine non ho capito perchè studia $\f^i(x)=2xsqrt(cosx^2)$
calcolandosi $\f(1/2) <=1/4$ non poteva, già finita la derivata prima ,dire per $a_1=1/2$ che il limite tendeva a 0?
grazie
(ditemi se sbaglio il ragionamento 
)
Normalmente in una successione studio i $punti fissi$ e la $positività$ della funzione $\phi(t)=f(t)-t$
Per quanto riguarda questa successione:
$\{(a_1=1/2),(a_(n+1)=\int_{0}^{a_n^2} sqrt(cost)dt ):}$
la soluzione procede in questo modo,ovvero si calcola la $\phi(x)$:
$\phi(x)=f(x)-x=\int_{0}^{x^2} sqrt(cost)dt -x=\int_{0}^{x^2} (sqrt(cost))-1/(2sqrt(x))dt
quì primo quesito..da dove esce $-1/(2sqrt(x)$ ?
successivamente poi non ho capito bene come prosegue.Cioè dice che $\phi(0)=0$(poichè l'integrale sarebbe nullo) e fin quì ok, ma in questo modo è $l'unico$ punto fisso??successivamente studia la derivata prima in questo modo:
$\phi^i(x)=2x(sqrt(cosx^2)-1/(2|x|)) , x!=0$
da quì lui conosce l'andamento della funzione prima e dopo lo zero, cioè cresce prima dello zero,decresce dopo.
infine non ho capito perchè studia $\f^i(x)=2xsqrt(cosx^2)$
calcolandosi $\f(1/2) <=1/4$ non poteva, già finita la derivata prima ,dire per $a_1=1/2$ che il limite tendeva a 0?
grazie
(ditemi se sbaglio il ragionamento )
Risposte
nessuno sa dirmi niente?
per il primo dubbio il professore mi ha detto di leggerlo al contrario facendo la derivata...ho capito che $1/2\sqrt(x)$ è la derivata di $\sqrt(x)$ ma lì cè $x$
per il primo dubbio il professore mi ha detto di leggerlo al contrario facendo la derivata...ho capito che $1/2\sqrt(x)$ è la derivata di $\sqrt(x)$ ma lì cè $x$
up 
Hai che $0\le f(x) \le x^2$ per ogni $x\in [0,\pi/2]$.
Poiché $0< a_1 = \frac{1}{2} < 1$, puoi facilmente dimostrare per ricorrenza che $a_{n+1} = f(a_n) \in (0,1)$ per ogni $n$.
Inoltre, sempre per il fatto che $0\le f(x) \le x^2$ per ogni $x\in [0,1]$, dimostri anche che $(a_n)$ è una successione monotona decrescente; essendo limitata sarà dunque anche convergente; detto $L$ il suo limite, si avrà $L\in [0,1/2]$ e inoltre $L$ è un punto fisso di $f$ in $[0, 1/2]$.
Sempre dalla disuguaglianza $0\le f(x) \le x^2$ per $x\in [0,1]$, deduci che l'unico punto fisso di $f$ in $[0,1/2]$ è $x=0$.
Poiché $0< a_1 = \frac{1}{2} < 1$, puoi facilmente dimostrare per ricorrenza che $a_{n+1} = f(a_n) \in (0,1)$ per ogni $n$.
Inoltre, sempre per il fatto che $0\le f(x) \le x^2$ per ogni $x\in [0,1]$, dimostri anche che $(a_n)$ è una successione monotona decrescente; essendo limitata sarà dunque anche convergente; detto $L$ il suo limite, si avrà $L\in [0,1/2]$ e inoltre $L$ è un punto fisso di $f$ in $[0, 1/2]$.
Sempre dalla disuguaglianza $0\le f(x) \le x^2$ per $x\in [0,1]$, deduci che l'unico punto fisso di $f$ in $[0,1/2]$ è $x=0$.
"TommyR22":
ciao a tutti.Ho un problema nello studio di una successione definita per ricorrenza,più che altro non riesco bene a risolverle quando il termine $a_(n+1)$ è una funzione integrale.
Normalmente in una successione studio i $punti fissi$ e la $positività$ della funzione $\phi(t)=f(t)-t$
Per quanto riguarda questa successione:
$\{(a_1=1/2),(a_(n+1)=\int_{0}^{a_n^2} sqrt(cost)dt ):}$
la soluzione procede in questo modo,ovvero si calcola la $\phi(x)$:
$\phi(x)=f(x)-x=\int_{0}^{x^2} sqrt(cost)dt -x=\int_{0}^{x^2} (sqrt(cost))-1/(2sqrt(x))dt
quì primo quesito..da dove esce $-1/(2sqrt(x)$ ?
Innanzitutto, ricordo: Qui, quo, qua, l'accento non ci va.
Una volta corretta la grammatica, passiamo alla Matematica.
Una semplicissima applicazione del principio d'induzione mostra che [tex]$\forall n \in \mathbb{N} ,\ a_n>0$[/tex].
Per ottenere l'espressione integrale di [tex]$\varphi$[/tex] basta notare che il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale consente di scrivere:
[tex]$x=|x|=\sqrt{x^2} =\int_0^{x^2} \left( \sqrt{t} \right)^\prime \text{d} t =\int_0^{x^2} \frac{1}{2\sqrt{t}} \ \text{d} t$[/tex]
per [tex]$x\geq 0$[/tex] (ed analogamente [tex]$x=\int_{x^2}^0 \frac{1}{2\sqrt{t}} \ \text{d} t$[/tex] per [tex]$x\leq 0$[/tex]).
Quindi:
[tex]$\varphi (x)=\int_0^{x^2} \sqrt{\cos t} \ \text{d} t -x=\int_0^{x^2} \left\{ \sqrt{\cos t} -\frac{1}{2\sqrt{t}} \right\} \text{d} t$[/tex].
Tuttavia non capisco perchè complicarsi la vita introducendo una funzione integrale in più... La soluzione che propone Rigel è molto meglio, IMHO.
[mod="gugo82"]@ Sutekh: Questo post è stato ritenuto dagli amministratori offensivo nei confronti di un membro dello staff; pertanto è stato rimosso ed "archiviato".[/mod]
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