Successione ricorsiva
salve ragazzi, potreste aiutarmi con questa successione ricorsiva? la successione è questa:
$ a_1=s $
$ a_(n+1)=a_n (2-a_n) $
trovato il dominio che è $RR$ e posta $ f(t)= -t^2 +2t $ faccio $ lim_(t -> +oo )f(t) =lim_(t -> -oo ) f(t)=-oo $ dunque la successione non può divergere positivamente .
adesso pongo $ g(t)=f(t)-t=-t^2 +t $ . di questa nuova funzione studio il segno e trovo che è positiva per le $ 0 <= t <= 1 $
i punti fissi della funzione g sono quindi 0 e 1. dunque se la successione converge questi sono i valori di convergenza. a questo punto traccio un grafico approsimativo di $ f(t) $ e scrivo che:
- $ f( -oo;0 ) = ( -oo ;0 ) $
- $ f( 0;1 ) = ( 0;1 ) $
- $ f( 1;+oo ) = ( -oo ;1 ) $
che sono praticamente i valori del dominio e del codominio della funzione f.
dunque per $ s<0 $ $ a_n<0 $ e quindi $ lim a_n=-oo $
per $ 0
è giusto il procedimento?
grazie a tutti
$ a_1=s $
$ a_(n+1)=a_n (2-a_n) $
trovato il dominio che è $RR$ e posta $ f(t)= -t^2 +2t $ faccio $ lim_(t -> +oo )f(t) =lim_(t -> -oo ) f(t)=-oo $ dunque la successione non può divergere positivamente .
adesso pongo $ g(t)=f(t)-t=-t^2 +t $ . di questa nuova funzione studio il segno e trovo che è positiva per le $ 0 <= t <= 1 $
i punti fissi della funzione g sono quindi 0 e 1. dunque se la successione converge questi sono i valori di convergenza. a questo punto traccio un grafico approsimativo di $ f(t) $ e scrivo che:
- $ f( -oo;0 ) = ( -oo ;0 ) $
- $ f( 0;1 ) = ( 0;1 ) $
- $ f( 1;+oo ) = ( -oo ;1 ) $
che sono praticamente i valori del dominio e del codominio della funzione f.
dunque per $ s<0 $ $ a_n<0 $ e quindi $ lim a_n=-oo $
per $ 0
è giusto il procedimento?
grazie a tutti
Risposte
La formula di definizione ricorsiva non si capisce bene.
[tex]a_n[/tex] si scrive a partire da questa parola a_n inclusa tra due simboli raffiguranti il dollaro \$.
[tex]a_n[/tex] si scrive a partire da questa parola a_n inclusa tra due simboli raffiguranti il dollaro \$.
Ci ho messo una pezza io nel MathML; ora dovrebbe risultare tutto più chiaro.
non lo sapevo che si faceva in quel modo la $a_n$
comunque è corretta la successione?
comunque è corretta la successione?
Grazie Gugo.
Una soluzione elegante non mi viene, comunque anche con $s=2$ hai una successione costante, puoi ragionare considerando che hai potenze di [tex]2[/tex] ad esponente intero positivo e di segno negativo quindi diverge a meno infinito, sia cominciando con [tex]s>2[/tex] che con [tex]s<0[/tex], questo si può dimostrare induttivamente, negli altri casi il limite è [tex]1[/tex].
[edit] Comunque il tuo ragionamento è bene impostato, certamente i valori sono in ogni caso quelli della funzione che hai scritto, per cui è chiaro che non può divergere a più infinito. Punto fisso dovrebbe essere quello in cui il valore della funzione assume il valore dell'argomento, comunque in 0,1,2 la successione è costante.
Una soluzione elegante non mi viene, comunque anche con $s=2$ hai una successione costante, puoi ragionare considerando che hai potenze di [tex]2[/tex] ad esponente intero positivo e di segno negativo quindi diverge a meno infinito, sia cominciando con [tex]s>2[/tex] che con [tex]s<0[/tex], questo si può dimostrare induttivamente, negli altri casi il limite è [tex]1[/tex].
[edit] Comunque il tuo ragionamento è bene impostato, certamente i valori sono in ogni caso quelli della funzione che hai scritto, per cui è chiaro che non può divergere a più infinito. Punto fisso dovrebbe essere quello in cui il valore della funzione assume il valore dell'argomento, comunque in 0,1,2 la successione è costante.
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