Successione ricorsiva
Buongiorno a tutti 
Vi propongo un esercizio che mi mette alle strette nell'ultimo punto:
Si consideri la successione definita per ricorrenza come segue:
$a_{0}=2$, $a_{1}=1$, $a_{n+1}=a_{n-1}+a_{n}$ per $n\geq 1$
Dopodiché mi viene chiesto di studiare la monotonia, la limitatezza ed infine di calcolare il limite. E fin qua tutto apposto essendo la successione data un caso particolare della succesione di Fibonacci (illimitata e divergente). Ma nell'ultimo punto mi chiede di verificare che $\forall n\in \mathcal{N}^+ $ si ha che \( a_{n}=({\frac{1+\sqrt{5} }{2})}^n + ({\frac{1-\sqrt{5} }{2})}^n \) e qua mi blocco...qualche consiglio?
Vi propongo un esercizio che mi mette alle strette nell'ultimo punto:
Si consideri la successione definita per ricorrenza come segue:
$a_{0}=2$, $a_{1}=1$, $a_{n+1}=a_{n-1}+a_{n}$ per $n\geq 1$
Dopodiché mi viene chiesto di studiare la monotonia, la limitatezza ed infine di calcolare il limite. E fin qua tutto apposto essendo la successione data un caso particolare della succesione di Fibonacci (illimitata e divergente). Ma nell'ultimo punto mi chiede di verificare che $\forall n\in \mathcal{N}^+ $ si ha che \( a_{n}=({\frac{1+\sqrt{5} }{2})}^n + ({\frac{1-\sqrt{5} }{2})}^n \) e qua mi blocco...qualche consiglio?
Risposte
Mostra che la successione scritta in quel modo verifica la relazione ricorsiva.
scusa non ho ben capito cosa intendi (l'induzione forse?). Comunque tornando all' esercizio noto che i due termini elevati alla $n$ sono le soluzioni dell equazione $n^2 - n -1=0$ ma non riesco a collegarlo all'esercizio
Devi verificare che $(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}$.
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