Successione per ricorrenza

[liberatorimatteo]

Buonasera, domani ho l'esame di analisi e ora stavo facendo un esercizio ma mi sono bloccato proprio alla fine...
L'esercizio mi chiede di calcolare il limite, se esiste, di questa successione definita per ricorrenza

$\{(a_0=1/2),(a_(n+1)=1/(2+a_n)):}$

Tralascio tutto il procedimento (l'ho scritto nel mio commento successivo a questo) e vi dico direttamente il risultato. Ho trovato le due sottosuccessioni

$a_(2n) -> sqrt(2)-1$
$a_(2n+1) -> sqrt(2)-1$

Sapendo ciò,è un ovvia conseguenza che $a_n -> sqrt(2)-1$ ma non riesco a dimostrarlo.
Posto $L=\sqrt(2)-1$ so che

$\forall\varepsilon>0 \existsn_1\in\mathbb{N}:|a_(2n)-L|<\varepsilon \foralln>n_1$
$\forall\varepsilon>0 \existsn_2\in\mathbb{N}:|a_(2n+1)-L|<\varepsilon \foralln>n_2$

ma ora come giungo a dire che $a_n -> L$? Sicuramente devo porre $n_0=max{n_1,n_2}$ e in qualche modo, che spero saprete spigarmi, devo giungere a

$\forall\varepsilon>0 \existsn_0\in\mathbb{N}:|a_(n)-L|<\varepsilon \foralln>n_0$

[Oiram92]

Sinceramente non ho capito come fai ad avere :

"Freebulls":Ho trovato le due sottosuccessioni

$a_(2n) -> sqrt(2)-1$
$a_(2n+1) -> sqrt(2)-1$

in cui palesemente \(\displaystyle a_0 \neq \frac{1}{2} \). Per quanto riguarda questo :

"Freebulls":

$\forall\varepsilon>0 \existsn_1\in\mathbb{N}:|a_(2n)-L|>\varepsilon \foralln>n_1$
$\forall\varepsilon>0 \existsn_2\in\mathbb{N}:|a_(2n+1)-L|>\varepsilon \foralln>n_2$

avendo trovato che le due successioni convergono a quel valore allora la distanza \(\displaystyle |a_{2n}-L| \) è minore di \(\displaystyle \epsilon \) non maggiore. A parte questo direi che il seguito si ha per induzione, nel senso che (con i passaggi che hai "censurato") hai dimostrato che la successione \(\displaystyle a_{2n} \) (dei termini pari) converge ad \(\displaystyle L \) ed è vero anche per \(\displaystyle a_{2n+1} \) (successione dei termini dispari) quindi per induzione è vera \(\displaystyle \forall n \).

Però prendi con le pinze quello che ti ho detto perchè non sono tanto bravo con le dimostrazioni, aspetta conferme da qualcuno più esperto.

[liberatorimatteo]

"Oiram92":avendo trovato che le due successioni convergono a quel valore allora la distanza \(\displaystyle |a_{2n}-L| \) è minore di \(\displaystyle \epsilon \) non maggiore.

Errore di battitura xD

"Oiram92":Sinceramente non ho capito come fai ad avere :
[quote="Freebulls"]Ho trovato le due sottosuccessioni

$a_(2n) -> sqrt(2)-1$
$a_(2n+1) -> sqrt(2)-1$

in cui palesemente \(\displaystyle a_0 \neq \frac{1}{2} \). [/quote]
Ora ti spiego brevemente:
Si vede facilmente che

$a_0=1/2,a_1=2/3,a_2=3/8,a_3=4/7$

Ossia i termini oscillano... Quindi, invece di studiare la funzione $f(x)=1/(2+x)$ (che tra l'altro per $x\in(-2,+\infty)$ è decrescente e quindi non saprei come comportarmi) studio la funzione $(f\circf)x=(x+2)/(2x+5)$
Chiaramente per $x\in(-5/2,+oo)$ è crescente. Studio ora il segno di

$(f\circf)x-x=(x+2)/(2x+5)-x=(2-4x-2x^2)/(2x+5)$

$2-4x-2x^2>0 \Leftrightarrow x^2+2x-1<0 \Leftrightarrow -1-\sqrt(2)
$2x+5>0 \Leftrightarrow x>(-5/2)$

Quindi

$(f\circf)x-x>0 \Leftrightarrow -5/2\sqrt(2)-1$

Quindi se $a_0=1/2\in(\sqrt(2)-1,+oo) \Rightarrow \sqrt(2)-1 sqrt(2)-1$.
Invece, se $a_1=2/5\in(-\sqrt(2)-1,sqrt(2)-1) \Rightarrow x sqrt(2)-1$.

Se clicchi qui https://ggbm.at/zDKPaSPP e zoommi nel punto in cui si intersecano la bisettrice con la funzione si vede una specie di spirale che va verso il centro (ovviamente non potevo fare tutti gli infiniti punti ed ho fatto solo i primi 5) quindi intuitivamente è chiaro che tale funzione converge nel punto in cui si interseca la bisettrice con la funzione ossia in $sqrt(2)-1$


L'idea dell'induzione forse potrebbe andare però non so non mi convince xD
Io cercavo più che altro una dimostrazione con passaggi matematici attraverso le definizioni di limite se possibile
Grazie mille però per la risposta

[liberatorimatteo]

Nessuno che sappia rispondermi?