Successione parzialmente risolta ma...
Salve ragazzi,
ho risolto parzialmente un esercizio in cui è assegnata la seguente successione di funzioni:
$ f_n(x) = 1/x^\frac{n}{n+1} $ con $ x in [1,+infty[ $
La funzione somma se non vado errato è:
$ f(x) = 1/x $
Il modulo della differenza è una funzione decrescente per $ x in I $ ed assume il sup in x=1. Il limite risulta indipendente da n (prendendo la funzione scritta come un esponenziale) e di valore pari a 0. Da tutto ciò segue la convergenza uniforme della successione (confermata anche dal plot per alcuni valori di n).
Il dubbio mi assale nella seconda parte.
Si chiede di verificare che per ogni b > 1 si ha :
$ \int_1^b (\lim_{n\to + \infty} f_n(x)) dx = \lim_{n\to + \infty} \int_1^b f_n(x)dx $.
Ebbene qualcosa non mi torna.
Forse sbaglio qualcosa nel limite?
Un saluto e...grazie a tutti
A.
ho risolto parzialmente un esercizio in cui è assegnata la seguente successione di funzioni:
$ f_n(x) = 1/x^\frac{n}{n+1} $ con $ x in [1,+infty[ $
La funzione somma se non vado errato è:
$ f(x) = 1/x $
Il modulo della differenza è una funzione decrescente per $ x in I $ ed assume il sup in x=1. Il limite risulta indipendente da n (prendendo la funzione scritta come un esponenziale) e di valore pari a 0. Da tutto ciò segue la convergenza uniforme della successione (confermata anche dal plot per alcuni valori di n).
Il dubbio mi assale nella seconda parte.
Si chiede di verificare che per ogni b > 1 si ha :
$ \int_1^b (\lim_{n\to + \infty} f_n(x)) dx = \lim_{n\to + \infty} \int_1^b f_n(x)dx $.
Ebbene qualcosa non mi torna.
Forse sbaglio qualcosa nel limite?
Un saluto e...grazie a tutti
A.
Risposte
Allora, come hai visto le $f_n$ convergono puntualmente a $f=1/x$. E tu hai mostrato che c'è pure convergenza uniforme ( non ho fatto i conti ora).
Quello che ti viene chiesto è se vale il passaggio al limite sotto al segno di integrale: per il teorema della convergenza dominata il limite commuta con l'operazione di integrazione (le $f_n$ sono dominate da $g(x)=1 \in [1,+\infty)$).
Per provarlo analiticamente non mi pare difficile:
l'integrale di destra fa banalmente $log(b)$, con $b>1$.
Quello di sinistra risulta (se non ho sbagliato i conti) $(n+1)(b^(1/(n+1))-1)$, da cui prendendo il limite si vede che è proprio $log(b)$. Quindi è verificato
Quello che ti viene chiesto è se vale il passaggio al limite sotto al segno di integrale: per il teorema della convergenza dominata il limite commuta con l'operazione di integrazione (le $f_n$ sono dominate da $g(x)=1 \in [1,+\infty)$).
Per provarlo analiticamente non mi pare difficile:
l'integrale di destra fa banalmente $log(b)$, con $b>1$.
Quello di sinistra risulta (se non ho sbagliato i conti) $(n+1)(b^(1/(n+1))-1)$, da cui prendendo il limite si vede che è proprio $log(b)$. Quindi è verificato
Ciao e grazie ancora.
Confermo che un limite risulta esattamente come da te scritto.
Non mi torna come quello di sinistra porti al medesimo risultato ($ \lim_{n\to + \infty}(n+1)(b^(1/(n+1))-1)=lnb $ )
Per quanto concerne il teorema della convergenza dominata cosa intendi di preciso?Il fatto che posso maggiorare le varie funzioni?
Un saluto.
A.
Confermo che un limite risulta esattamente come da te scritto.
Non mi torna come quello di sinistra porti al medesimo risultato ($ \lim_{n\to + \infty}(n+1)(b^(1/(n+1))-1)=lnb $ )
Per quanto concerne il teorema della convergenza dominata cosa intendi di preciso?Il fatto che posso maggiorare le varie funzioni?
Un saluto.
A.
"Gandalf73":
Per quanto concerne il teorema della convergenza dominata cosa intendi di preciso?Il fatto che posso maggiorare le varie funzioni?
Sicuramente l'avrai fatto, visto il tipo di esercizio. Ad ogni modo, è un teorema che si affronta in teoria della misura (o analisi II qualche volta) e le ipotesi possono essere scritte in modo differente a secondo della preparazione dello studente. Click
La nostra $g$ è una funzione che maggiora in modulo ciascuna $f_n$, in quel dominio.
"Gandalf73":
Non mi torna come quello di sinistra porti al medesimo risultato ($ \lim_{n\to + \infty}(n+1)(b^(1/(n+1))-1)=lnb $
Hai una forma di indeterminazione del tipo $\infty*0$.... se proprio non riesci usa de l'Hopital
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