Successione parametrica

[Mrs92]

Individuare i valori del parametro $x$ per cui risulta convergente la seguente successione e precisare il valore del limite


$ fn(x) = (x^3)/(x^(2n) + 1)$

pensavo di fare così:

$ fn(x) = (x^3)/(x^(2n) + 1) \sim (x^3)/(x^(2n)) \sim 1/(x^(2n - 3))$

direi che converge per $|x|>1$

per $x=1$ s ha una successione infinita di $1/2$ quindi non lo considero convergere giusto?

[Sk_Anonymous]

Ci sono alcuni errori, ma cominciamo dalle cose più basilari.
Alla fine hai detto che per $x=1$ abbiamo $f_n(1)=1$/$2\ \forall n$. Perché dici che non converge???
Controlla bene la definizione di successione convergente.

[Mrs92]

sì mi sono sbagliato, effettivamente una successione di valori tutti uguali è stato di convergenza...
quindi dovrei dire che converge per $|x|>=1$?

[Sk_Anonymous]

Qui viene il secondo problema: hai usato il fatto che $x^{2n}+1\sim x^{2n}$ per $x->+oo$
Sei sicuro di questo fatto? Vale qualunque sia il valore di $x$ ?
Prova ad applicare la definizione di $\sim$

[Mrs92]

in effetti non l'ho considerato. se x è uguale a uno c'è una bella differenza.
ho qualche problema con le successioni di taylor e gli sviluppi asintotici..

[Sk_Anonymous]

Anche se $|x|<1$ c'è una bella differenza. Svolgo io i passaggi:

$x^{2n}+1\sim x^{2n}$ per $n->+oo$ significa che $(x^{2n}+1)/x^{2n}$ tende ad un limite finito e non nullo per $n->+oo$.

Ma $\lim_{n->+oo}(x^{2n}+1)/x^{2n}=\lim_{n->+oo}(1+x^{-2n})$ e questo limite effettivamente va a $1$ se $|x|>1$, va a $2$ se $|x|=1$, e va a $+oo$ se $|x|<1$.

Il discorso dell'asintoto che facevi tu riesce se $|x|>1$ e, come correttamente trovavi, in tal caso $f_n(x)->0$ per $n->+oo$.
Se $|x|=1$ allora riparti dall'inizio e scrivi $x^3/{x^{2n}+1}=\pm 1/2$ dove c'è il segno $+$ se $x=1$ e il segno $-$ se $x=-1$, quindi i limiti sono $f_n(1)->1/2$ e $f_n(-1)->-1/2$.
Se infine $|x|<1$ allora $x^{2n}->0$ e, ripartendo dal testo dell'esercizio, puoi scrivere direttamente $f_n(x)->x^3$

[Mrs92]

Allora vediamo se mi sono sincronizzato:

Per $x= 1$ la successione tende naturalmente a $1/2$ quindi c'è convergenza semplice
se $x= -1$ la successione tende naturalmente a $-1/2$ quindi c'è convergenza semplice

se $|x|>1$ posso dire che $x^{2n}+1\sim x^{2n}$ per $n->+oo$ e converge a $0$

se $|x|<1$ allora la successione converge a $x^3$

RIGHT?

[Sk_Anonymous]

Esatto.

[Mrs92]

Quindi posso dire che la successione converge sempre?

[Sk_Anonymous]

Non dovresti avere dubbi su questo...

Esiste un valore di $x$ per cui la $f_n(x)$ non converge?

[Mrs92]

Direi di no....


Grazie

[Sk_Anonymous]

Di nulla

[Mrs92]

giusto per fissare un'ultima cosa

$ fn(x)= ((2 - x)^k)/(k + sqrt(k)) $

criterio della radice:
$ root(k)(((2 - x)^k)/(k + sqrt(k)))$ => $(2-x)/root(k)(k + sqrt(k)) $

il denominatore tende a 1 e non mi preoccupa

la successione converge semplicemente per $x>1 $
converge assolutamente per $1

giusto?

[Sk_Anonymous]

Vorrei che scrivessi qui l'enunciato del criterio della radice per successioni.

[Mrs92]

$lim k ->oo root(k)(an)=alpha$ converge se $alpha <1$, non converge altrimenti

[Sk_Anonymous]

Il teorema che hai scritto (dimenticando l'ipotesi che $a_n$ sia positiva e facendo una piccola confusione fra $k$ e $n$) viene usato per stabilire quando una serie converge, non è usato per le successioni.

E' comunque possibile dimostrare un teorema che afferma che se $\root[n]{|a_n|}->\alpha$ per $n->+oo$ allora quando $\alpha<1$ la successione $a_n$ è infinitesima (cioè tende a $0$).
Se invece $\alpha>1$ allora $|a_n| ->+oo$ (occhio al modulo).

Riesci a correggere ciò che hai scritto prima?

[Mrs92]

ecco che succede a studiare successioni e serie a breve distanza.... uff...


chiedo scusa, trattasi di serie non di successione, ho scritto male all'inizio.


in questa nuova ottica ciò che ho scritto è corretto?

[Sk_Anonymous]

Va meglio, resta comunque il fatto che il teorema richiede che la successione $a_n$ sia sempre positiva.
Quindi la tua analisi è attendibile solo per solo per $x<=2$.

Ora $\root[k]{f_k(x)}=(2-x)/\root[k]{k+\sqrt{k}}->2-x$ per $x->+oo$ quindi si ha divergenza se $x<1$ e convergenza se $1
Se vai ad applicare lo stesso metodo alla successione $|f_k(x)|$ (e quindi studi la convergenza assoluta), trovi che $\root[k]{f_k(x)}->|2-x|$ per $x->+oo$ quindi per $2

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[Mrs92]

ti ringrazio per la precisazione....

[Sk_Anonymous]

Di nulla.

Mancano comunque da esaminare i casi $x=1$ e $x>=3$.

[Mrs92]

beh se $x=1$ il criterio non ci dà informazioni e in effetti non mi vengono in mente metodi per risolverlo
per $x>=3$ abbiamo una serie a termini alterni
se $x=3$ converge per il criterio di leibniz
se $x>3$ non converge