Successione monotona crescente
Salve a tutti,devo risolvere questo esercizio, ma trovo difficoltà nell'andare a dimostrare la crescenza della seguente successione: $ E= [1/2,2]U{(-1)^ n sqrt(4n^2-n )+2n; n= 1,2,3,4,5... $
La risposta è una fra queste quattro :
1) E ha minimo ma non ha massimo
2)L'accumulazione di E è [1/2,2]u{0}
3)E non ha né massimo né minimo
4)La frontiera di E è {0,1/2,2}
Provo a studiarla separatamente per n pari e dispari :
$ nin P $
n=2 a(2)= $ sqrt(14)+4 $
n=4 a(4)= $ sqrt(60)+8 $
n=6 a(6)= $ sqrt(138)+12 $
A questo punto, impongo che la successione sia monotona crescente :
dunque $ a(n+1)> a(n) $
sostituendo ottengo:
$ -sqrt(4(n^3+3n^2+3n+1-n-1) )+2n+2> sqrt(4n^2-n)+2n $
a questo punto non riesco a risolvere la disequazione ,anche perché come fa una quantità negativa ad essere maggiore di una quantità positiva?Posso utilizzare soltanto questo metodo,né derivate,né teorema ponte, consigli per risolvere questo quesito?c'è qualche altro metodo più semplice?ho sbagliato qualcosa?
La risposta è una fra queste quattro :
1) E ha minimo ma non ha massimo
2)L'accumulazione di E è [1/2,2]u{0}
3)E non ha né massimo né minimo
4)La frontiera di E è {0,1/2,2}
Provo a studiarla separatamente per n pari e dispari :
$ nin P $
n=2 a(2)= $ sqrt(14)+4 $
n=4 a(4)= $ sqrt(60)+8 $
n=6 a(6)= $ sqrt(138)+12 $
A questo punto, impongo che la successione sia monotona crescente :
dunque $ a(n+1)> a(n) $
sostituendo ottengo:
$ -sqrt(4(n^3+3n^2+3n+1-n-1) )+2n+2> sqrt(4n^2-n)+2n $
a questo punto non riesco a risolvere la disequazione ,anche perché come fa una quantità negativa ad essere maggiore di una quantità positiva?Posso utilizzare soltanto questo metodo,né derivate,né teorema ponte, consigli per risolvere questo quesito?c'è qualche altro metodo più semplice?ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Ciao Salvy,
Forse perché non lo è...
Però scrivendo la successione nella forma $ a_n := 2n + (-1)^n sqrt{4n^2-n} $ dovresti renderti conto facilmente che si ha $a_n >0 \quad \AA n \in \NN_{> 0} $
Ad esempio:
$ a_1 = 2 - \sqrt{3} > 0 $
$ a_2 = 4 + \sqrt{14} > 0 $
$ a_3 = 6 - sqrt{33} > 0 $
$ a_4 = 8 + sqrt{60} > 0 $
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"Salvy":
[...] ma trovo difficoltà nell'andare a dimostrare la crescenza[...]
Forse perché non lo è...
Però scrivendo la successione nella forma $ a_n := 2n + (-1)^n sqrt{4n^2-n} $ dovresti renderti conto facilmente che si ha $a_n >0 \quad \AA n \in \NN_{> 0} $
Ad esempio:
$ a_1 = 2 - \sqrt{3} > 0 $
$ a_2 = 4 + \sqrt{14} > 0 $
$ a_3 = 6 - sqrt{33} > 0 $
$ a_4 = 8 + sqrt{60} > 0 $
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Ciao Salvy, quello che hai notato calcolando i primi valori della successione è che la sottosuccessione con indici pari ovvero $a_(2n)$ è crescente, quindi per dimostrare questo devi imporre $a_(2n+2)>a_(2n)$, comunque la successione non è crescente essendo decrescente quella a indici dispari $a_(2n+1)$
quindi come posso continuare lo studio?mi sono imballato 
Quindi posso dire che è decrescente e di conseguenza ammette massimo ma non minimo?
La successione di partenza non decresce essendo formata dagli elementi di una successione crescente (la sottosuccessione a indici pari) alternati a quelli di una decrescente (la sottosuccessione a indici dispari) e lo puoi facilmente notare calcolando i primi 4 valori che ti ha scritto pilloeffe.
Inoltre puoi notare che per $n rightarrow +infty$ si ha $a_(2n) rightarrow +infty$, $a_(2n+1) rightarrow 1/4$ che sono quindi i due valori limite di $a_n$
Inoltre puoi notare che per $n rightarrow +infty$ si ha $a_(2n) rightarrow +infty$, $a_(2n+1) rightarrow 1/4$ che sono quindi i due valori limite di $a_n$
In conclusione considerando le due sottosuccessioni la successione di partenza cresce o decresce?
$a_n$ è monotona crescente se $forall n$ si ha $a_n<=a_(n+1)$
Nel nostro caso già $a_2>a_3$ quindi non è crescente
$a_n$ è monotona decrescente se $forall n$ si ha $a_n>=a_(n+1)$
Nel nostro caso già $a_1
In conclusione $a_n$ non è monotona, è una successione irregolare
Nel nostro caso già $a_2>a_3$ quindi non è crescente
$a_n$ è monotona decrescente se $forall n$ si ha $a_n>=a_(n+1)$
Nel nostro caso già $a_1
In conclusione $a_n$ non è monotona, è una successione irregolare
In conclusione quale delle 4 risposte è corretta? Non ha né massimo né minimo?
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