Successione limitata e limitata sup/inf
Se una successione è limitata solo superiormente oppure solo inferiormente non è limitata giusto?
Cioè deve essere limitata sia superiormente sia inferiormente per poterla definire limitata?
Tra gli esercizi del mio prof ho un esercizio che dice
${(pi^n)^[(-1)^n]}$
Risposte:
A) non limitata
C) limitata superiormente
Con A corretta, e fin qui ci sono.
Però poi un secondo esercizio
${(1/n)^[(-1)^n]}$
Risposte:
A) limitata inferiormente
C) non limitata superiormente
Con A corretta.
Non dovrebbe essere corretta anche la C?
Cioè deve essere limitata sia superiormente sia inferiormente per poterla definire limitata?
Tra gli esercizi del mio prof ho un esercizio che dice
${(pi^n)^[(-1)^n]}$
Risposte:
A) non limitata
C) limitata superiormente
Con A corretta, e fin qui ci sono.
Però poi un secondo esercizio
${(1/n)^[(-1)^n]}$
Risposte:
A) limitata inferiormente
C) non limitata superiormente
Con A corretta.
Non dovrebbe essere corretta anche la C?
Risposte
"2coppe":
Cioè deve essere limitata sia superiormente sia inferiormente per poterla definire limitata?
Giusto.
Però poi un secondo esercizio
${(1/n)^[(-1)^n]}$
Risposte:
A) limitata inferiormente
C) non limitata superiormente
Con A corretta.
Non dovrebbe essere corretta anche la C?
Perché dici che non è limitata superiormente? Si vede abbastanza facilmente che è sempre $<=1$, quindi la C) non è corretta.
"2coppe":
Perché dici che non è limitata superiormente? Si vede abbastanza facilmente che è sempre $<=1$, quindi la C) non è corretta.
La successione vale n sui dispari e 1/n sui pari, quindi non è superiormente limitata.
"otta96":
[quote="2coppe"]Cioè deve essere limitata sia superiormente sia inferiormente per poterla definire limitata?
Giusto.
Però poi un secondo esercizio
${(1/n)^[(-1)^n]}$
Risposte:
A) limitata inferiormente
C) non limitata superiormente
Con A corretta.
Non dovrebbe essere corretta anche la C?
Perché dici che non è limitata superiormente? Si vede abbastanza facilmente che è sempre $<=1$, quindi la C) non è corretta.[/quote]
Non capisco perché $<= 1$
${(1/n)^[(-1)^n]}={(1/n,if n pari),(n,if n dispari):}$
A me viene una successione irregolare $1, 1/2, 3, 1/4, 5, 1/6,...$
Cioè sia risposta A e C vere...
"pigrecoedition":
[quote="otta96"]
Perché dici che non è limitata superiormente? Si vede abbastanza facilmente che è sempre $<=1$, quindi la C) non è corretta.
La successione vale n sui dispari e 1/n sui pari, quindi non è superiormente limitata.[/quote]
Grazie per la risposta,
È un past paper d'esame universitario, sono molto sorpreso che ci sia questo errore...
La risposta corretta doveva essere solo una...
Si scusate mi sono confuso, pensavo fosse il prodotto invece è all'esponente, avete ragione.
Mi perdonate se faccio una seconda domanda sulle successioni?
Siano ${a_n}$ e ${b_n}$ due successioni, di cui la prima converge e la seconda no.
Allora la successione ${a_n*b_n}$:
a) non converge, ma è limitata
b) non converge
c) converge
d) nessuna di queste
La risposta è la d giustificata per controesempi ma i controesempi di b) e c) non mi convincono.
a) falso per $a_n=1/n$ e $b_n=n^2$
b) falso per $a_n=(-1)^n/n$ e $b_n=n$
c) falso per $a_n=1/n^2$ e $b_n=n$
Io avevo risposto così
b) falso per $a_n=1/n$ e $b_n=(-1)^n$
c) falso per $a_n=1/n$ e $b_n=n^2$
Siano ${a_n}$ e ${b_n}$ due successioni, di cui la prima converge e la seconda no.
Allora la successione ${a_n*b_n}$:
a) non converge, ma è limitata
b) non converge
c) converge
d) nessuna di queste
La risposta è la d giustificata per controesempi ma i controesempi di b) e c) non mi convincono.
a) falso per $a_n=1/n$ e $b_n=n^2$
b) falso per $a_n=(-1)^n/n$ e $b_n=n$
c) falso per $a_n=1/n^2$ e $b_n=n$
Io avevo risposto così
b) falso per $a_n=1/n$ e $b_n=(-1)^n$
c) falso per $a_n=1/n$ e $b_n=n^2$
La b) ha senso: la successione $a_n$ converge a zero, la $b_n$ diverge, ma il loro prodotto è $(-1)^n$ che risulta alternata e quindi non ha limite. Il tuo esempio, invece, restituisce come prodotto $(-1)^n/n$ che converge a zero.
Per la c) sono d'accordo, è errata. L'esempio che hai scritto tu coincide con la a), in ogni caso.
Per la c) sono d'accordo, è errata. L'esempio che hai scritto tu coincide con la a), in ogni caso.
Scusate, un dettaglio:
Cito Fioravante Patrone: "Non usare i verbi a capocchia".
Qui non stai definendo niente. Stai dimostrando che la successione è limitata. Pare un dettaglio ma è molto importante: per me che leggo, ma ancora più importante per te che scrivi.
"2coppe":
Cioè deve essere limitata sia superiormente sia inferiormente per poterla definire limitata?
Cito Fioravante Patrone: "Non usare i verbi a capocchia".
Qui non stai definendo niente. Stai dimostrando che la successione è limitata. Pare un dettaglio ma è molto importante: per me che leggo, ma ancora più importante per te che scrivi.
"ciampax":
Il tuo esempio, invece, restituisce come prodotto $(-1)^n/n$ che converge a zero.
Nel mio esempio ho dimostrato che la b) è falsa, non è vero che $a_n*b_n$ non converge (per ogni $a_n$ che converge e $b_n$ no).
Mentre $a_n=(-1)^n/n$ e $b_n=n$ risulta in una oscillante, cioè conferma la risposta b)
PS.
Grazie a tutti, qualsiasi aiuto a capire meglio e passare analisi 1 a gennaio è benvenuto
Parlavo del secondo esempio della b), hai scritto $a_n=1/n, b_n=(-1)^n$
Sì di quello parlavo, il problema è che dovevo dimostrare con degli esempi che a)b)c) fossero false.
La b) dice "non converge" quindi dovevo trovarne una che converge.
La b) dice "non converge" quindi dovevo trovarne una che converge.
Forse non ci siamo capiti: tu hai risposto così
ma il prodotto di queste due converge. mentre l'esempio scritto prima (che dici non ti convince) invece va bene, visto che il prodotto risulta $(-1)^n$ che è oscillante.
"2coppe":
Io avevo risposto così
b) falso per $a_n=1/n$ e $b_n=(-1)^n$
ma il prodotto di queste due converge. mentre l'esempio scritto prima (che dici non ti convince) invece va bene, visto che il prodotto risulta $(-1)^n$ che è oscillante.
"ciampax":
Forse non ci siamo capiti: tu hai risposto così
[quote="2coppe"]Io avevo risposto così
b) falso per $a_n=1/n$ e $b_n=(-1)^n$
ma il prodotto di queste due converge. mentre l'esempio scritto prima (che dici non ti convince) invece va bene, visto che il prodotto risulta $(-1)^n$ che è oscillante.[/quote]
Devo dimostrare con un controesempio che la risposta B) "non converge" non è vera per ogni an bn,
per questo la mia risposta deve convergere
viewtopic.php?f=36&t=177775#p8293183
La risposta corretta è la D (fornita dal prof) cioè nessuna.
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