Successione limitata a valori infiniti divergente

[luca661]

Ragazzi sto cercando di dimostrare che:" data una successione a valori in un insieme chiuso e limitato A essa ammette una sottosuccessione convergente con limite in A".

Il mio problema è proprio in partenza.
Non riesco ad individuare nella mia mente il grafico di una successione limitata a valori infiniti divergente.
Convergente ci riesco facilmente, ma divergente non riesco. Sapete darmi un idea ?

Vi ringrazio tantissimo per l'aiuto che mi date!

[killing_buddha]

Cos'è una successione a valori infiniti, e dov'è che $A$ è chiuso, in $RR$, in $RR^n$, in uno spazio metrico? Stai probabilmente cercando di dimostrare questo fatto https://en.wikipedia.org/wiki/Bolzano%E ... ss_theorem ?

[luca661]

Allora si scusami \(\displaystyle A \) è chiuso in \(\displaystyle R \). Per successione a valori infiniti intendo che \(\displaystyle {a_k} \) assuma un insieme infinito di valori in A. Con \(\displaystyle A \subset R \)
Per capirci escludo successioni del tipo \(\displaystyle (-1)^n \)

"killing_buddha":
Stai probabilmente cercando di dimostrare questo fatto https://en.wikipedia.org/wiki/Bolzano%E ... ss_theorem ?

Si sto dimostrando quello

[killing_buddha]

Allora credo che la cosa piu efficace sia che tu studi la dimostrazione sottolineando ciò che non capisci; è un risultato elementare ma abbisogna di un po' di concentrazione, bisogna stabilire delle notazioni, etc.

Una successione limitata, iniettiva e non convergente $NN \to [0,1]$ è una qualsiasi biiezione \(\mathbb N \to \mathbb Q\cap [0,1]\).

[luca661]

"killing_buddha":

Una successione limitata, iniettiva e non convergente $NN \to [0,1]$ è una qualsiasi biiezione \(\mathbb N \to \mathbb Q\cap [0,1]\).

Meraviglioso sono riuscito a costruirmi l'idea! Grazie tantissimo!