Successione limitata
Salve a tutti!
In un esercizio devo stabilire la limitatezza della successione $S_n= (2n-1)/(3n+1)$
Ho pensato di impostare la risoluzione in questo modo: $(2n-1)/(3n+1)<= K$ (Per vedere se è limitata superiormente).
A questo punto facendo i calcoli ottengo che $n<= (k+1)/(2-3k)$
A questo punto a che conclusione sono arrivato?
Non riesco a concludere! Grazie in anticipo.
In un esercizio devo stabilire la limitatezza della successione $S_n= (2n-1)/(3n+1)$
Ho pensato di impostare la risoluzione in questo modo: $(2n-1)/(3n+1)<= K$ (Per vedere se è limitata superiormente).
A questo punto facendo i calcoli ottengo che $n<= (k+1)/(2-3k)$
A questo punto a che conclusione sono arrivato?
Non riesco a concludere! Grazie in anticipo.
Risposte
Quello che devi dimostrare è che esiste un $K>0$ tale che $|S_n|\le K$ per ogni $n\in NN$. Osserva che
$S_n={2n-1}/{3n+1}=2/3-5/3\cdot 1/{3n+1}=1/3(2-5/{3n+1})$ (eseguendo la divisione).
Ora, dal momento che $n\ge 0$ allora $3n+1\ge 1$ e quindi $0<1/{3n+1}\le1$ e $-5\le -5/{3n+1}<0$ e infine
$1/3(2-5)\le S_n<1/3\cdot 2\ \Rightarrow\ -1\le S_n<2/3$
Scelto allora $K=\max\{|-1|,\ |2/3|\}=1$ segue che $|S_n|\le 1$
$S_n={2n-1}/{3n+1}=2/3-5/3\cdot 1/{3n+1}=1/3(2-5/{3n+1})$ (eseguendo la divisione).
Ora, dal momento che $n\ge 0$ allora $3n+1\ge 1$ e quindi $0<1/{3n+1}\le1$ e $-5\le -5/{3n+1}<0$ e infine
$1/3(2-5)\le S_n<1/3\cdot 2\ \Rightarrow\ -1\le S_n<2/3$
Scelto allora $K=\max\{|-1|,\ |2/3|\}=1$ segue che $|S_n|\le 1$
Un modo potrebbe essere quello di fare il $lim_(n->+oo) S_n$ .. se il limite è finito allora la $S_n$ è limitata!
Hai concluso che per tutti gli $n<= (k+1)/(2-3k)$ vale questa cosa $(2n-1)/(3n+1)<= K$
"Karozzi":
Ho pensato di impostare la risoluzione in questo modo: $(2n-1)/(3n+1)<= K$ (Per vedere se è limitata superiormente).
A questo punto facendo i calcoli ottengo che $n<= (k+1)/(2-3k)$
A questo punto a che conclusione sono arrivato?
Non riesco a concludere! Grazie in anticipo.
Hai concluso che per tutti gli $n<= (k+1)/(2-3k)$ vale questa cosa $(2n-1)/(3n+1)<= K$
scusa ciampax per la risposta doppia! non avevo visto il tuo post!
"MrMeaccia":
scusa ciampax per la risposta doppia! non avevo visto il tuo post!
Figurati: avere più "voci" e idee può sempre essere d'aiuto. Ad esempio il mio metodo può risultare complicato se applicato a successioni di cui non è facile comprendere le limitazioni a meno di usare un qualche "studio" di massimi o minimi.
E poi di cosa ti scusi? Lo avresti dovuto fare se avessi detto qualcosa di "inutile" o, peggio, "sbagliato"!
"ciampax":
Quello che devi dimostrare è che esiste un $K>0$ tale che $|S_n|\le K$ per ogni $n\in NN$. Osserva che
$S_n={2n-1}/{3n+1}=2/3-5/3\cdot 1/{3n+1}=1/3(2-5/{3n+1})$ (eseguendo la divisione).
Ora, dal momento che $n\ge 0$ allora $3n+1\ge 1$ e quindi $0<1/{3n+1}\le1$ e $-5\le -5/{3n+1}<0$ e infine
$1/3(2-5)\le S_n<1/3\cdot 2\ \Rightarrow\ -1\le S_n<2/3$
Scelto allora $K=\max\{|-1|,\ |2/3|\}=1$ segue che $|S_n|\le 1$
Perdonami, grazie per la risposta, ma non capisco proprio come mai $S_n={2n-1}/{3n+1}=2/3-5/3\cdot 1/{3n+1}=1/3(2-5/{3n+1})$
Te ne potresti uscire molto velocemente osservando che si tratta di una successione convergente, e che dunque essa è necessariamente limitata. Ma verificare la cosa a mano è certamente un buon esercizio e tu hai fatto quasi bene: stai attento quando dividi per \(2-3K\) perché se \(k>1\), quello è un numero negativo e il verso della disuguaglianza si inverte:
\[n \ge \frac{K+1}{2-3K}, \qquad K >1.\]
Ora osserva che il membro destro di questa disuguaglianza è negativo. Ma \(n\) è un numero naturale e quindi, per definizione, sempre positivo. Perciò questa disuguaglianza è verificata per ogni \(n\), basta che \(K\) sia maggiore di \(1\). Concludi che la successione è limitata superiormente.
P.S.: Ah a proposito! Pure io stavo scrivendo contemporaneamente a voi. Vedo che nel frattempo il mio post è diventato completamente inutile però mi seccava buttarlo e ve lo rifilo lo stesso!
\[n \ge \frac{K+1}{2-3K}, \qquad K >1.\]
Ora osserva che il membro destro di questa disuguaglianza è negativo. Ma \(n\) è un numero naturale e quindi, per definizione, sempre positivo. Perciò questa disuguaglianza è verificata per ogni \(n\), basta che \(K\) sia maggiore di \(1\). Concludi che la successione è limitata superiormente.
P.S.: Ah a proposito! Pure io stavo scrivendo contemporaneamente a voi. Vedo che nel frattempo il mio post è diventato completamente inutile però mi seccava buttarlo e ve lo rifilo lo stesso!
"Karozzi":
[quote="ciampax"]Quello che devi dimostrare è che esiste un $K>0$ tale che $|S_n|\le K$ per ogni $n\in NN$. Osserva che
$S_n={2n-1}/{3n+1}=2/3-5/3\cdot 1/{3n+1}=1/3(2-5/{3n+1})$ (eseguendo la divisione).
Ora, dal momento che $n\ge 0$ allora $3n+1\ge 1$ e quindi $0<1/{3n+1}\le1$ e $-5\le -5/{3n+1}<0$ e infine
$1/3(2-5)\le S_n<1/3\cdot 2\ \Rightarrow\ -1\le S_n<2/3$
Scelto allora $K=\max\{|-1|,\ |2/3|\}=1$ segue che $|S_n|\le 1$
Perdonami, grazie per la risposta, ma non capisco proprio come mai $S_n={2n-1}/{3n+1}=2/3-5/3\cdot 1/{3n+1}=1/3(2-5/{3n+1})$[/quote]
Fai la divisione tra i polinomi $2n-1$ e $3n+1$
"dissonance":
Te ne potresti uscire molto velocemente osservando che si tratta di una successione convergente, e che dunque essa è necessariamente limitata. Ma verificare la cosa a mano è certamente un buon esercizio e tu hai fatto quasi bene: stai attento quando dividi per \(2-3K\) perché se \(k>1\), quello è un numero negativo e il verso della disuguaglianza si inverte:
\[n \ge \frac{K+1}{2-3K}, \qquad K >1.\]
Ora osserva che il membro destro di questa disuguaglianza è negativo. Ma \(n\) è un numero naturale e quindi, per definizione, sempre positivo. Perciò questa disuguaglianza è verificata per ogni \(n\), basta che \(K\) sia maggiore di \(1\). Concludi che la successione è limitata superiormente.
P.S.: Ah a proposito! Pure io stavo scrivendo contemporaneamente a voi. Vedo che nel frattempo il mio post è diventato completamente inutile però mi seccava buttarlo e ve lo rifilo lo stesso!
Ringrazio tutti tutti tutti quelli che mi hanno aiutato!
Dissonance, da questo mio risultato finale concludo anche che $n$ è illimitato inferiormente?
"ciampax":
[quote="Karozzi"][quote="ciampax"]Quello che devi dimostrare è che esiste un $K>0$ tale che $|S_n|\le K$ per ogni $n\in NN$. Osserva che
$S_n={2n-1}/{3n+1}=2/3-5/3\cdot 1/{3n+1}=1/3(2-5/{3n+1})$ (eseguendo la divisione).
Ora, dal momento che $n\ge 0$ allora $3n+1\ge 1$ e quindi $0<1/{3n+1}\le1$ e $-5\le -5/{3n+1}<0$ e infine
$1/3(2-5)\le S_n<1/3\cdot 2\ \Rightarrow\ -1\le S_n<2/3$
Scelto allora $K=\max\{|-1|,\ |2/3|\}=1$ segue che $|S_n|\le 1$
Perdonami, grazie per la risposta, ma non capisco proprio come mai $S_n={2n-1}/{3n+1}=2/3-5/3\cdot 1/{3n+1}=1/3(2-5/{3n+1})$[/quote]
Fai la divisione tra i polinomi $2n-1$ e $3n+1$[/quote]
Caspita, grazie! non ci avevo pensato.
Ehm, c'è scritto a fianco! (eseguendo la divisone)
(eseguendo la divisone)
"Karozzi":
Dissonance, da questo mio risultato finale concludo anche che n è illimitato inferiormente?
Ma assolutamente no!!! Abbiamo appena detto che \(n \ge 0\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\).
Scusate se mi intrometto..
@Ciampax: Cosa intendi quando dici
Questa è una cosa che proprio non mi torna.. il mio professore in alcuni esercizi sulle successioni usa strumenti dell'analisi infinitesimale..
Però le successioni non sono funzioni continue!
Quali sono le condizioni per fare quel "passaggio"?
(cioè da $f_n:NN->RR$ ad una funzione $f(x) : I-> RR$ con f(x) definita su $I in RR$)?
@Ciampax: Cosa intendi quando dici
"ciampax":
"studio" di massimi o minimi.
Questa è una cosa che proprio non mi torna.. il mio professore in alcuni esercizi sulle successioni usa strumenti dell'analisi infinitesimale..
Però le successioni non sono funzioni continue!
Quali sono le condizioni per fare quel "passaggio"?
(cioè da $f_n:NN->RR$ ad una funzione $f(x) : I-> RR$ con f(x) definita su $I in RR$)?
"dissonance":
[quote="Karozzi"]
Dissonance, da questo mio risultato finale concludo anche che n è illimitato inferiormente?
Ma assolutamente no!!! Abbiamo appena detto che \(n \ge 0\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\).[/quote]
Ti spiego due secondi il ragionamento che ho fatto.
Ho pensato al fatto che, $S_n$ per essere lim. inferiormente debba essere $S_n>=h$ per ogni $h>=0$
Se io prendo, ad esempio, $h=1$ e lo sostituisco nella mia disequazione, avrò che $2n-1>=3n+1$, quindi $n> -2$ non è mai verificato. Per questo tu affermi che non è lim. inferiormente?
Sto facendo mateMAGICA o è una cosa quantomeno plausibile?
"MrMeaccia":
Scusate se mi intrometto..
@Ciampax: Cosa intendi quando dici [quote="ciampax"]"studio" di massimi o minimi.
Questa è una cosa che proprio non mi torna.. il mio professore in alcuni esercizi sulle successioni usa strumenti dell'analisi infinitesimale..
Però le successioni non sono funzioni continue!
Quali sono le condizioni per fare quel "passaggio"?
(cioè da $f_n:NN->RR$ ad una funzione $f(x) : I-> RR$ con f(x) definita su $I in RR$)?[/quote]
Intendo che in alcuni casi molto, molto, molto particolari (di difficile approccio con i soli limiti, se vogliamo essere chiari) si può pensare di associare la successione alla analoga funzione (sostituendo $n\to x$) e studiare questa su $[0,+\infty)$ (che contiene $NN$). Quello che accade è che, se la funzione risulta limitata anche la successione lo è. Ma, ripeto, sono proprio casi terribili in cui i soli limiti o cosniderazioni "elementari" non ti permettono di concludere molto.
"Karozzi":
Ho pensato al fatto che, Sn per essere lim. inferiormente debba essere Sn≥h per ogni h≥0
Non sono sicuro che sia giusto: le successioni sono funzioni da $NN -> RR$ .. cioè l'immagine della successione è in R e quindi anche h (il tuo estremo inferione dell'immagine della sucessione) è un numero reale! Non è detto che debba essere $h>0$
"Karozzi":
Se io prendo, ad esempio, h=1 e lo sostituisco nella mia disequazione, avrò che 2n−1≥3n+1, quindi n>−2 non è mai verificato
Hai fatto un errore nella disequazione: $2n-1>=3n+1$ e ottieni $ n<=-2$ ..Questo risultato dice che è impossibile che $S_n >=1$ ! Perché i numeri naturali sono tutti i numeri interi positivi!
Questo vuol dire che 1 non è un estremo inferione dell'immagine di Sn!
Come ti diceva ciampax $ |Sn|≤1$ cioè : 1 è l'estremo superiore dell'immagine di $S_n$ e -1 è l'estremo inferiore dell'immagine di $S_n$!
Puoi verificare che -1 è estremo inf ponendo (come avevi fatto tu) $S_n>=h=-1$ .. quello che otteni è $2n-1>=-3n-1$ e ottieni $ 5n>=0$ che vuol dre che la proprietà $S_n>= -1$ è verificata $AA n in NN$
Spero di essere stato chiaro (e di non aver scritto fesserie.. in tal caso mi rimetto al giudizio dei più esperti!):-D
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo