Successione limitata .
Buonasera amici, ho delle incertezze con la seguente dimostrazione, vorrei delle conferme se sono giuste 
:
sia \(\displaystyle (a_n)_n \) una successione, se esiste un \(\displaystyle M\in \mathbb{R} \) tale che definitivamente \(\displaystyle (a_n)_n\le M\) quindi \(\displaystyle (a_n)_n \) è limitata superiormente.
Dimostrazione:
sia \(\displaystyle (a_n)_n\le M\) per \(\displaystyle n\ge \alpha \), posto \(\displaystyle A = a_0,...,a_{\alpha-1},M \), non vuoto ed ha un numero finito di elementi sono \(\displaystyle \alpha+1 \), pertanto ha massimo \(\displaystyle M'=maxA \) quindi \(\displaystyle M'\ge M \) perché \(\displaystyle M\in A \), inoltre :
1) \(\displaystyle 0\le n \le \alpha-1 \rightarrow a_n \in A \rightarrow a_n \le M'\)
2) \(\displaystyle n\ge\alpha \rightarrow a_n\le M \rightarrow a_n \le M' \)
1) La mia prima domanda che mi faccio è sull'insieme \(\displaystyle A \), su come è stato definito:
Mi sono chiesto perché l'insieme \(\displaystyle A \) non contiene anche i termini \(\displaystyle a_\alpha, a_n \) e cosi via, saltando direttamente ad \(\displaystyle M \) ??? ho pensato che l'insieme \(\displaystyle A \) contiene le immagini della successione fino al termine \(\displaystyle M \), tralasciando altri termini che sono del tutto irrilevanti.
2) Invece la seconda incertezza è sul punto uno 1) della dimostrazione dove dice :
\(\displaystyle 0\le n \le \alpha-1\), intende che presi i termini \(\displaystyle n\le \alpha-1 \) quindi per l'indice \(\displaystyle n \) corrispondente \(\displaystyle a_n\in A \), pertanto \(\displaystyle a_n\le M' \)
Se è cosi la dimostrazione l'ho capita 
Grazie infinitamente per le risposte
: sia \(\displaystyle (a_n)_n \) una successione, se esiste un \(\displaystyle M\in \mathbb{R} \) tale che definitivamente \(\displaystyle (a_n)_n\le M\) quindi \(\displaystyle (a_n)_n \) è limitata superiormente.
Dimostrazione:
sia \(\displaystyle (a_n)_n\le M\) per \(\displaystyle n\ge \alpha \), posto \(\displaystyle A = a_0,...,a_{\alpha-1},M \), non vuoto ed ha un numero finito di elementi sono \(\displaystyle \alpha+1 \), pertanto ha massimo \(\displaystyle M'=maxA \) quindi \(\displaystyle M'\ge M \) perché \(\displaystyle M\in A \), inoltre :
1) \(\displaystyle 0\le n \le \alpha-1 \rightarrow a_n \in A \rightarrow a_n \le M'\)
2) \(\displaystyle n\ge\alpha \rightarrow a_n\le M \rightarrow a_n \le M' \)
1) La mia prima domanda che mi faccio è sull'insieme \(\displaystyle A \), su come è stato definito:
Mi sono chiesto perché l'insieme \(\displaystyle A \) non contiene anche i termini \(\displaystyle a_\alpha, a_n \) e cosi via, saltando direttamente ad \(\displaystyle M \) ??? ho pensato che l'insieme \(\displaystyle A \) contiene le immagini della successione fino al termine \(\displaystyle M \), tralasciando altri termini che sono del tutto irrilevanti.
2) Invece la seconda incertezza è sul punto uno 1) della dimostrazione dove dice :
\(\displaystyle 0\le n \le \alpha-1\), intende che presi i termini \(\displaystyle n\le \alpha-1 \) quindi per l'indice \(\displaystyle n \) corrispondente \(\displaystyle a_n\in A \), pertanto \(\displaystyle a_n\le M' \)
Se è cosi la dimostrazione l'ho capita
Grazie infinitamente per le risposte
Risposte
Nessuno che mi risponde
L'idea è quella di trovare un maggiorante per tutti gli $a_n$ partendo dal fatto che, da un certo punto in poi, gli $a_n$ sono limitati superiormente.
Se fai un disegno, la logica della dimostrazione la capisci subito. Ad esempio, prendi:
[asvg]xmin =0; xmax =16;ymin =-6; ymax =10;
axes("","");
stroke ="black"; line([7,-4],[7,11]); text([7,-5],"α=7",below);
stroke="red"; strokewidth=2; line([0,4],[17,4]);
stroke="dodgerblue"; dot([1,3]); dot([2,5]); dot([3,6]); dot([4,4]); dot([5,10]); dot([6,6]); dot([7,2]); dot([8,-2]); dot([9,-1]); dot([10,-0.5]); dot([11,0]); dot([12,0.5]); dot([13,1]); dot([14,1.5]); dot([15,2]); dot([16,2.5]);
text([0,4],"M",left);[/asvg]
in cui è rappresentato il grafico parziale di una successione $(a_n)$ con $M=4$ ed $alpha =7$.
Come vedi, i termini della successione non sono tutti minori di $M$, il quale quindi non può essere un maggiorante di tutta la successione (pur essendo un maggiorante di infiniti termini e, quindi, potenzialmente un ottimo candidato).
Eppure, si vede facile che la successione è limitata dall'alto, poiché i suoi termini sono tutti minori di $11$... Perché hai scelto proprio $11$?
Beh, perché $11$ è sia maggiore od uguale ad $M=4$ sia maggiore od uguale ad ogni termine della successione che precede tutti quelli certamente minori di $M$, i.e. quelli da $a_7$ in poi.
Notato ciò, puoi riuscire a vedere da te che la scelta di $M^\prime=11$ non è "ottimale", poiché c'è "troppo spazio" tra $M^\prime$ e tutti i termini della successione... Se non vuoi lasciare "troppo spazio " ti conviene scegliere $M^\prime=10$, che è il più piccolo valore che non è strettamente maggiore di tutti i termini della successione e di $M$. Se ci fai caso $10=\max\{a_1, a_2,a_3, a_4,a_5,a_6,M\}$ e questo collima con la scelta fatta nella tua dimostrazione.
Se fai un disegno, la logica della dimostrazione la capisci subito. Ad esempio, prendi:
[asvg]xmin =0; xmax =16;ymin =-6; ymax =10;
axes("","");
stroke ="black"; line([7,-4],[7,11]); text([7,-5],"α=7",below);
stroke="red"; strokewidth=2; line([0,4],[17,4]);
stroke="dodgerblue"; dot([1,3]); dot([2,5]); dot([3,6]); dot([4,4]); dot([5,10]); dot([6,6]); dot([7,2]); dot([8,-2]); dot([9,-1]); dot([10,-0.5]); dot([11,0]); dot([12,0.5]); dot([13,1]); dot([14,1.5]); dot([15,2]); dot([16,2.5]);
text([0,4],"M",left);[/asvg]
in cui è rappresentato il grafico parziale di una successione $(a_n)$ con $M=4$ ed $alpha =7$.
Come vedi, i termini della successione non sono tutti minori di $M$, il quale quindi non può essere un maggiorante di tutta la successione (pur essendo un maggiorante di infiniti termini e, quindi, potenzialmente un ottimo candidato).
Eppure, si vede facile che la successione è limitata dall'alto, poiché i suoi termini sono tutti minori di $11$... Perché hai scelto proprio $11$?
Beh, perché $11$ è sia maggiore od uguale ad $M=4$ sia maggiore od uguale ad ogni termine della successione che precede tutti quelli certamente minori di $M$, i.e. quelli da $a_7$ in poi.
Notato ciò, puoi riuscire a vedere da te che la scelta di $M^\prime=11$ non è "ottimale", poiché c'è "troppo spazio" tra $M^\prime$ e tutti i termini della successione... Se non vuoi lasciare "troppo spazio " ti conviene scegliere $M^\prime=10$, che è il più piccolo valore che non è strettamente maggiore di tutti i termini della successione e di $M$. Se ci fai caso $10=\max\{a_1, a_2,a_3, a_4,a_5,a_6,M\}$ e questo collima con la scelta fatta nella tua dimostrazione.
Gugo82 grazie come sempre per le risposte chiarissime, comunque forse ho capito
dalla seguente proposizione si dimostra che :
sia \(\displaystyle a_n \) una successione tale che verifichi \(\displaystyle a_n \le M \) per un certo \(\displaystyle n\ge \alpha \) quindi qui si ottengono due insiemi i cui sono
\(\displaystyle A \) per come l'ho definito prima ; \(\displaystyle B=a_n : n\ge \alpha \). L'insieme \(\displaystyle B \) è limitato da \(\displaystyle M \). Quindi ora dobbiamo trovare un maggiorante per l'insieme \(\displaystyle A \) visto che è un insieme che contiene un numero finito di elementi, ha pertanto massimo \(\displaystyle M' \) si ha \(\displaystyle M'\ge M \) da questo si nota che si possono avere due possibilità ( in base al valore di \(\displaystyle n \) ) , le quali sono
1) \(\displaystyle 0\le n \le \alpha-1 \rightarrow a_n \in A \rightarrow a_n \le M' \)
la quale dice che se si verifica la posizione del valore \(\displaystyle n\le \alpha-1 \) quindi \(\displaystyle a_n \in A \) allora \(\displaystyle M' \) è un maggiorante per \(\displaystyle A \) anche se in questo caso il valore \(\displaystyle M \) è meno distante dal termine più grande della successione.
Invece la 2) è ovvia.
Spero di aver intuito bene...grazie ancora per la risposta
dalla seguente proposizione si dimostra che :
sia \(\displaystyle a_n \) una successione tale che verifichi \(\displaystyle a_n \le M \) per un certo \(\displaystyle n\ge \alpha \) quindi qui si ottengono due insiemi i cui sono
\(\displaystyle A \) per come l'ho definito prima ; \(\displaystyle B=a_n : n\ge \alpha \). L'insieme \(\displaystyle B \) è limitato da \(\displaystyle M \). Quindi ora dobbiamo trovare un maggiorante per l'insieme \(\displaystyle A \) visto che è un insieme che contiene un numero finito di elementi, ha pertanto massimo \(\displaystyle M' \) si ha \(\displaystyle M'\ge M \) da questo si nota che si possono avere due possibilità ( in base al valore di \(\displaystyle n \) ) , le quali sono
1) \(\displaystyle 0\le n \le \alpha-1 \rightarrow a_n \in A \rightarrow a_n \le M' \)
la quale dice che se si verifica la posizione del valore \(\displaystyle n\le \alpha-1 \) quindi \(\displaystyle a_n \in A \) allora \(\displaystyle M' \) è un maggiorante per \(\displaystyle A \) anche se in questo caso il valore \(\displaystyle M \) è meno distante dal termine più grande della successione.
Invece la 2) è ovvia.
Spero di aver intuito bene...grazie ancora per la risposta
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