Successione infinitesima
Ciao a tutti!
Un paio di giorni fa ho fatto lo scritto di Analisi I. Mi chiedo se questo esercizio è svolto correttamente.
"Calcolare per quali valori di $alpha$ la successione $ a_n= n^(alpha) cos(n) log(1+1/(n^(1/3))) $ è infinitesima."
Io l'ho risolta così:
devo calcolare il $ lim_(n->oo) n^(alpha) cos(n) log(1+1/(n^(1/3)))=0 $ .
So che $ lim_(n->oo) cos(n) = k in [-1,1] $ e che $ lim_(n->oo) log(1+1/(n^(1/3)))= 0 $ . Quindi il prodotto di questi è uguale a $0$.
Devo quindi semplicemente trovare un $alpha$ per cui $ (lim_(n->oo) n^(alpha))*0=0 $.
Se $alpha >0$ si ottiene la forma indeterminata $oo * 0$, se $alpha<0$ si ottiene $0*0=0$.
Quindi la soluzione è $alpha<0$.
Lo svolgimento è corretto?
Un paio di giorni fa ho fatto lo scritto di Analisi I. Mi chiedo se questo esercizio è svolto correttamente.
"Calcolare per quali valori di $alpha$ la successione $ a_n= n^(alpha) cos(n) log(1+1/(n^(1/3))) $ è infinitesima."
Io l'ho risolta così:
devo calcolare il $ lim_(n->oo) n^(alpha) cos(n) log(1+1/(n^(1/3)))=0 $ .
So che $ lim_(n->oo) cos(n) = k in [-1,1] $ e che $ lim_(n->oo) log(1+1/(n^(1/3)))= 0 $ . Quindi il prodotto di questi è uguale a $0$.
Devo quindi semplicemente trovare un $alpha$ per cui $ (lim_(n->oo) n^(alpha))*0=0 $.
Se $alpha >0$ si ottiene la forma indeterminata $oo * 0$, se $alpha<0$ si ottiene $0*0=0$.
Quindi la soluzione è $alpha<0$.
Lo svolgimento è corretto?
Risposte
Temo di no, se è una forma indeterminata chi ti da la certezza che non sia infinitesima?
Avresti dovuto sapere che $log(1+n^(-1/3)) sim n^(-1/3)$ quando $n->+oo$, da cui:
$a_n sim n^(alpha-1/3) cos(n)$ che è infinitesima se e solo se $alpha-1/3<0$.
Se $alpha=1/3$ la successione invece oscilla, di conseguenza non è infinitesima.
Ps: è sbagliato scrivere che $lim_(n->+oo)cosn=k$ perchè questo limite non esiste.
Sarebbe giusto dire che la classe limite di quella successione è l'intervallo [-1,1].
Avresti dovuto sapere che $log(1+n^(-1/3)) sim n^(-1/3)$ quando $n->+oo$, da cui:
$a_n sim n^(alpha-1/3) cos(n)$ che è infinitesima se e solo se $alpha-1/3<0$.
Se $alpha=1/3$ la successione invece oscilla, di conseguenza non è infinitesima.
Ps: è sbagliato scrivere che $lim_(n->+oo)cosn=k$ perchè questo limite non esiste.
Sarebbe giusto dire che la classe limite di quella successione è l'intervallo [-1,1].
Oh, ho capito! Grazie mille1
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