Successione già vista ma...

[Gandalf73]

Salve a tutti,
postai tempo fa una successione di funzioni che vi riporto:

$ f_n(x) = \{ (( \frac{x-1}{x+1} )^{n} , ", per " 1<= x <= 2n),
(e^(\frac{n}{x}), ", per " x > 2n) :}
$

Possiamo dire che la successione converge uniformente in ogni intervallo chiuso del tipo $ [1,a] $ con $ a>1 $.
Mi chiedo perchè nello studio specifico:

1- Va esclusa la seconda successione
2- Nei casi generali in cui gli estremi del dominio di definizione fossero assegnati come successioni in $n$, è lecito considerare, per l'operazione di limite che ne garantisce l'uniforme continuità, il punto di estremo $x_n$ , qualora il sup della differenza tra $ abs (f_n(x) - f(x)) $ sia all'estremo dell'intervallo?(ovviamente nel caso in cui avessimo la funzione differenza monotona crescente o decrescente).
Non è facile ma mi auguro di aver espresso chiaramente i quesiti.
Un saluto ed un grazie in anticipo

[Gandalf73]

Si tutto chiaro.Poi valgono le considerazioni che ho fatto per la convergenza uniforme?
Spero di si (il massimo degli scarti...assunto in $(n+1)/(2n)$...etc etc).....

[gugo82]

Se credi che gli scarti abbiano massimo c'è qualcosa di Analisi 0.5 che, fossi in te, andrei a rivedere…

[Gandalf73]

Ma scusa la derivata del valore assoluto della differenza quanto fa?
A me torna
$ -2x +(n+1)/n $ o sbaglio?Quindi il sup della differenza avrebbe un max oppure sbaglio?

[pilloeffe]

"Gandalf73":o sbaglio?

Sbagli:

$|f_n(x) - f(x)| = | - x^2 + (n+1)/n x - 1/n - (- x^2 + x)| = $
$ = |- x^2 + x + x/n - 1/n + x^2 - x| = |1/n x - 1/n| $

[Gandalf73]

Si, ho fatto la derivata della funzione limite e non della differenza!
Atmosfera da 31 Dicembre sia pur monca
A questo pto....risulta immediata la cosa: il massimo degli scarti nel punto 1 con annessa uniforme convergenza dimostrata.Errato?

[gugo82]

Hai scritto chi è la funzione $|f_n - f|$? Ti sei accorto che è definita per casi? Ed hai notato che non è limitata superiormente in $[0,1]$?
Dunque, mi spieghi come cavolo fa ad avere un massimo?

Ti ostini a guardare i "pezzi", ma continui a perdere di vista il quadro generale.

[Gandalf73]

Scusami Gugo, per me parliamo di due cose diverse o stiamo guardando aspetti diversi.
Ti avevo semplicemente chiesto (per fare un test su ciò che ho capito),se la differenza scritta sotto (riportata da Pilloeffe) $ |f_n(x) - f(x)| = |- x^2 + x + x/n - 1/n + x^2 - x| = |1/n x - 1/n| $ fosse benedettamente limitata o no in quello che è l'intervallo di definizione fissato.
Al di là del tecnicismo spinto, la risposta non dovrebbe allontanarsi da un si o un no (senza i dettagli del caso che saranno pure preziosissimi ma al momento mi avrebbero solo confuso).
Se nell'intervallo ha un carattere di monotonia stretta (sempre la differenza di cui sopra)...perchè non posso dire che il sup è ottenuto nell'estremo dell'intervallo? Ed ancora ...se il limite (sempre con riferimento al sup della differenza sopra) per n che va ad infinito va a zero perchè non posso concludere che è uniformemente convergente?
Ripeto un dettaglio espressivo o un tecnicismo più spinto non mi porta ad afferrare il concetto meglio di un si o un no adesso come adesso.....

Ps visto che ci siamo...che l'anno nuovo sia meglio del vecchio per svariate cose!

[gugo82]

No.

Gandalf73, scusa, ma tu innanzitutto vuoi capire quello che succede a tutta la successione in tutto l'insieme di convergenza puntuale, cioè in tutto $[0,1]$.
Dato che:

$|f_n (x) - f(x)| =\{ (|x/(1-nx) + x^2 - x|, ", se " 0 <= x < 1/n), ((1-x)/n, ", se " 1/n <= x <= 1):}$

è evidente che per $x -> (1/n)^-$ lo scarto tende a $+oo$, quindi per ogni $n in NN$ risulta:

$"sup"_(0<= x <= 1) |f_n (x) - f(x)| = +oo$

perciò la convergenza non può essere uniforme su tutto $[0,1]$.

La cosa cambia appena consideri qualche sottoinsieme di $[0,1]$, come ad esempio gli intervalli del tipo $[a,1]$ con $0< a <1$.
Infatti, dato che fissato $a$ esiste un $n_a$ a partire dal quale in poi risulta $1/n<= a$, hai $[a,1] sube [1/n,1]$ e perciò:

$a<= x <=1\ =>\ |f_n (x) - f(x)| = (1-x)/n$

per ogni $n >= n_a$, dunque anche:

$"sup"_(a<=x <= 1)|f_n (x) - f(x)| <= (1-a)/n$,

col secondo membro infinitesimo; perciò c'è convergenza uniforme in $[a,1]$.

Tanti per curiosità, cosa succede negli intervalli del tipo $[0,b]$ con $0

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[Gandalf73]

Gugo grazie, mi si schiariscono le idee.
Adesso quello che non mi è affatto chiaro è perchè quando la $x$ è compresa tra $ [0,1/n [ $ la $ |f_n (x) - f(x)| $ risulta pari a $ |x/(1-nx) + x^2 - x| $?
Già perchè la funzione a cui tende la successione è certamente quella indicata $ (x^2 - x) $ ma lo è tra $[1/n , 1] $ e correttamente sostituita fornisce ciò che osservo. Tutto chiaro il resto. Qualcosa mi sfugge nel processo logico?
Perdonami ma esplorando così l'argomento riesco a mettere a fuoco il ragionamento in ogni piega distillandone poi i concetti.
A.

[gugo82]

Gandalf73, mi sembra che tu non legga affatto ciò che scrivo. In particolare, non hai letto il primo post nella pagina precedente o, se l'hai fatto, non l'hai capito.

Quindi, prima di continuare a postare, ti consiglio di rileggere con attenzione i miei interventi.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"Gandalf73":
quando la $x$ è compresa tra \( [ 0,1/n [ \)

quello che ti sta cercando di dire gugo da un po' è che questa frase NON HA SENSO

"gugo82":devi fissare $x$ (non $n$) e far variare $n$ (non $x$).

edit:
La tua frase ha senso se fissi \(n\) e fai variare \(x \in [0,1] \). Ad esempio fissiamo \(n = 3 \) allora hai \( [0,1/3[ \) e facendo variare \(x\) puoi affermare quando \(x \in [0,1/3[ \) allora bla bla. Mentre quando \( x \in [1/3,1] \) invece bla bla. Mentre qui devi fissare \(x\) ma è arbitrario, ad esempio \(x=1\), la scelta è arbitraria ma è fissato! E devi far variare \(n\) ora come potrai notare al variare di \(n\) la frase quando \( 1 \in [0,1/n[ \) non ha molto senso perché stai fissando un \(n\) per fare una tale affermazione. Piuttosto puoi dire per ogni \(n \) \( 1 \not\in [0,1/n[ \). Invece se fissi un'altro \(x\), \(x=1/8\) allora esisterà \(n_0 \) a partire dalla quale per ogni \(n \geq n_0 \) \( 1/8 \not\in [0,1/n[ \).
Quindi non puoi dire che quando \(x \in [0,1/n[ \) la successione di funzioni tende a qualcosa perché per ogni \(x\) fissato esisterà un \(n_x \) per la quale per ogni \( n \geq n_x \) allora \( x \not\in [0,1/n[ \).

[Gandalf73]

Finalmente ho capito!
Fissato $x$ facendo variare $n$ a partire da un certo $n_x$ il "punto fissato" viene "abbracciato dalla seconda definizione...(o candidata come la chiama pilloeffe) quindi la funzione limite è quella a cui tende quest'ultima!
Perdonatemi la tovaglia ma giocandosi tutta la partita sugli indici, il capire come vanno studiati simili casi non è nè banale nè immediato! Comunque grazie per la pazienza.
Adesso completo lo studio con il caso in cui vengono scelti intervalli del tipo $[b,1]$ come suggerito da Gugo.
Debbo dire che avendo ben sviscerato un caso del genere, mi risultano metabolizzati tantissimi concetti riguardo l'argomento!

[gugo82]

Guarda che avevo scritto $[0,b]$...

[Gandalf73]

Giusto Gugo non ho fatto a tempo a correggerlo, mi hai anticipato.
Dunque quando l'intervallo di analisi diventa $ [0,b] $ con $b$ fissato compreso tra [0,1[, avremmo lo stesso ragionamento usato per l'intervallo $ [a,1] $.
Ossia esisterà un $ n_b $ a partire dal quale lo scarto dato da $ |f_n (x) - f(x)|=|-x^2+(n+1)/(n)x-1/n+x^2+x| $ per ciascun $ n > n_b $ tenderebbe a zero e quindi avremmo una uniforme convergenza in ogni intervallo $ [0,b] $ .
In buona sostanza la prima parte della funzione è da considerarsi SOLO in $0$
Torna il discorso oppure c'è qualche errore concettuale?

[gugo82]

Sinceramente, lascio la palla ad altri: non ho più interesse a scrivere per qualcuno che non si prende la briga di leggere.
Buono studio.