Successione già vista ma...
Salve a tutti,
postai tempo fa una successione di funzioni che vi riporto:
$ f_n(x) = \{ (( \frac{x-1}{x+1} )^{n} , ", per " 1<= x <= 2n),
(e^(\frac{n}{x}), ", per " x > 2n) :}
$
Possiamo dire che la successione converge uniformente in ogni intervallo chiuso del tipo $ [1,a] $ con $ a>1 $.
Mi chiedo perchè nello studio specifico:
1- Va esclusa la seconda successione
2- Nei casi generali in cui gli estremi del dominio di definizione fossero assegnati come successioni in $n$, è lecito considerare, per l'operazione di limite che ne garantisce l'uniforme continuità, il punto di estremo $x_n$ , qualora il sup della differenza tra $ abs (f_n(x) - f(x)) $ sia all'estremo dell'intervallo?(ovviamente nel caso in cui avessimo la funzione differenza monotona crescente o decrescente).
Non è facile ma mi auguro di aver espresso chiaramente i quesiti.
Un saluto ed un grazie in anticipo
postai tempo fa una successione di funzioni che vi riporto:
$ f_n(x) = \{ (( \frac{x-1}{x+1} )^{n} , ", per " 1<= x <= 2n),
(e^(\frac{n}{x}), ", per " x > 2n) :}
$
Possiamo dire che la successione converge uniformente in ogni intervallo chiuso del tipo $ [1,a] $ con $ a>1 $.
Mi chiedo perchè nello studio specifico:
1- Va esclusa la seconda successione
2- Nei casi generali in cui gli estremi del dominio di definizione fossero assegnati come successioni in $n$, è lecito considerare, per l'operazione di limite che ne garantisce l'uniforme continuità, il punto di estremo $x_n$ , qualora il sup della differenza tra $ abs (f_n(x) - f(x)) $ sia all'estremo dell'intervallo?(ovviamente nel caso in cui avessimo la funzione differenza monotona crescente o decrescente).
Non è facile ma mi auguro di aver espresso chiaramente i quesiti.
Un saluto ed un grazie in anticipo
Risposte
"Gandalf73":
Salve a tutti,
postai tempo fa una successione di funzioni che vi riporto:
$ f_n(x) = \{ (( \frac{x-1}{x+1} )^{n} , ", per " 1<= x <= 2n),
(e^(\frac{n}{x}), ", per " x > 2n) :}
$
Possiamo dire che la successione converge uniformente in ogni intervallo chiuso del tipo $ [1,a] $ con $ a>1 $.
Mi chiedo perchè nello studio specifico:
1- Va esclusa la seconda successione
Non c'è nessuna "seconda successione": la successione è una, fatta da funzioni definite per casi.
E non viene escluso nulla dal calcolo: visto che per calcolare il limite puntuale devi ritenere fissato $x$ e passare al limite per $n -> +oo$, e ricordato che $NN$ non è limitato superiormente, da un certo indice $n_x$ in poi, cioè per ogni $n >= n_x$, hai $x < 2n$ e dunque $f_n(x) = ((x-1)/(x+1))^n$; conseguentemente, per ogni $x >=1$ hai:
$lim_n f_n(x) = lim_n ((x-1)/(x+1))^n = 0$.
"Gandalf73":
2- Nei casi generali in cui gli estremi del dominio di definizione fossero assegnati come successioni in $n$, è lecito considerare, per l'operazione di limite che ne garantisce l'uniforme continuità, il punto di estremo $x_n$ , qualora il sup della differenza tra $ abs (f_n(x) - f(x)) $ sia all'estremo dell'intervallo?(ovviamente nel caso in cui avessimo la funzione differenza monotona crescente o decrescente).
Non è facile ma mi auguro di aver espresso chiaramente i quesiti.
L'uniforme continuità cosa c'entra?
Immagino intendi "uniforme convergenza"...
Cosa intendi con "estremi del dominio di definizione assegnati come successioni"?
In questo caso, i domini di definizione delle $f_n$ non dipendono da $n$ perché tutte le $f_n$ sono definite in $[1,+oo [$... Quindi?
Poi, parli di "caso generale" e ti metti in ipotesi "particolari" (monotonia di qualcosa)...
Mi sa che tu debba rivedere la domanda cercando di esprimerla col vocabolario corretto.
Ciao Gandalf73,
Beh, se una successione di funzioni $f_n(x) $ converge uniformemente a qualcosa, questo qualcosa deve essere il limite puntuale della successione: il limite puntuale individua il candidato limite uniforme. Della successione definita per casi proposta, il secondo caso non converge per $n \to +\infty $, quindi l'unico caso candidato restante è il primo, che converge alla funzione $f(x) = 0 \iff (x - 1)/(x + 1) < 1 $ il che, considerato che $1 <= x <= 2n $, si verifica certamente in ogni intervallo chiuso del tipo $[1,a] $ con $a > 1 $
Per quanto concerne la convergenza uniforme, si tratta di far vedere che si ha:
$\lim_{n \to +\infty} \underset{x \in [1, a]}{\text{sup}} |f_n(x) - f(x)| = 0 $
$\lim_{n \to +\infty} \underset{x \in [1, a]}{\text{sup}} |f_n(x)| = 0 $
$\lim_{n \to +\infty} \underset{x \in [1, a]}{\text{sup}} f_n(x) = 0 $
(il valore assoluto è inutile perché $0 <= f_n(x) < 1 $ su $[1, a]$ con $a > 1 $).
Essendo $f_n(x) $ crescente su $[1, a]$ con $a > 1 $, deve risultare
$\lim_{n \to +\infty} (\frac{a - 1}{a + 1})^n = 0 $
cosa che in effetti è vera se $a > 1 $, il che significa che la successione di funzioni proposta converge uniformemente su ogni intervallo chiuso del tipo $[1, a]$ con $a > 1 $
"Gandalf73":
Mi chiedo perchè nello studio specifico:
1- Va esclusa la seconda successione
Beh, se una successione di funzioni $f_n(x) $ converge uniformemente a qualcosa, questo qualcosa deve essere il limite puntuale della successione: il limite puntuale individua il candidato limite uniforme. Della successione definita per casi proposta, il secondo caso non converge per $n \to +\infty $, quindi l'unico caso candidato restante è il primo, che converge alla funzione $f(x) = 0 \iff (x - 1)/(x + 1) < 1 $ il che, considerato che $1 <= x <= 2n $, si verifica certamente in ogni intervallo chiuso del tipo $[1,a] $ con $a > 1 $
Per quanto concerne la convergenza uniforme, si tratta di far vedere che si ha:
$\lim_{n \to +\infty} \underset{x \in [1, a]}{\text{sup}} |f_n(x) - f(x)| = 0 $
$\lim_{n \to +\infty} \underset{x \in [1, a]}{\text{sup}} |f_n(x)| = 0 $
$\lim_{n \to +\infty} \underset{x \in [1, a]}{\text{sup}} f_n(x) = 0 $
(il valore assoluto è inutile perché $0 <= f_n(x) < 1 $ su $[1, a]$ con $a > 1 $).
Essendo $f_n(x) $ crescente su $[1, a]$ con $a > 1 $, deve risultare
$\lim_{n \to +\infty} (\frac{a - 1}{a + 1})^n = 0 $
cosa che in effetti è vera se $a > 1 $, il che significa che la successione di funzioni proposta converge uniformemente su ogni intervallo chiuso del tipo $[1, a]$ con $a > 1 $
@Gugo:
Si hai ragione riguardo il termine "uniforme" mi riferivo alla convergenza e non alla continuità.Sorry...
Per quanto concerne il secondo dubbio cerco di spiegarlo meglio.
Molto spesso mi sono imbattuto in successioni il cui intervallo di definizione è dipendente dall'indicice $n$.
Ancora più spesso, il comportamento di queste successioni , studiato attraverso la derivata prima, (considerando n come "parametro"), mostra un andamento strettamente crescente (o decrescente) all'interno di questi intervalli. In questi casi ,è lecito nello studio del limite che ne determina l'uniforme convergenza,sostituire alla variabile indipendente, l'estremo?(con la sua dipendenza dall'indice). Secondo me assolutamente no...proprio per le definizioni di convergenza puntuale ed uniforme e di come debbono essere considerati indici e variabili all'interno dell'intervallo.Spero di aver chiarito il senso della domanda.
@Pilloeffe, mi è chiaro il motivo esposto da Gugo riguardo il secondo "candidato" ma non afferro bene il tuo ragionamento. Nel senso che non considero il candidato in questione perchè, dalle definizioni di convergenza puntuale ed uniforme (si fissa x e si fa tendere all'infinito $n$) ne verrebbe escluso in quanto settato comunque prima $ x > 2n $ facendo poi tendere all'infinito $n$ le $ f_n $ avrebbero il numeratore > del denominatore.Sbagliato?
Si hai ragione riguardo il termine "uniforme" mi riferivo alla convergenza e non alla continuità.Sorry...
Per quanto concerne il secondo dubbio cerco di spiegarlo meglio.
Molto spesso mi sono imbattuto in successioni il cui intervallo di definizione è dipendente dall'indicice $n$.
Ancora più spesso, il comportamento di queste successioni , studiato attraverso la derivata prima, (considerando n come "parametro"), mostra un andamento strettamente crescente (o decrescente) all'interno di questi intervalli. In questi casi ,è lecito nello studio del limite che ne determina l'uniforme convergenza,sostituire alla variabile indipendente, l'estremo?(con la sua dipendenza dall'indice). Secondo me assolutamente no...proprio per le definizioni di convergenza puntuale ed uniforme e di come debbono essere considerati indici e variabili all'interno dell'intervallo.Spero di aver chiarito il senso della domanda.
@Pilloeffe, mi è chiaro il motivo esposto da Gugo riguardo il secondo "candidato" ma non afferro bene il tuo ragionamento. Nel senso che non considero il candidato in questione perchè, dalle definizioni di convergenza puntuale ed uniforme (si fissa x e si fa tendere all'infinito $n$) ne verrebbe escluso in quanto settato comunque prima $ x > 2n $ facendo poi tendere all'infinito $n$ le $ f_n $ avrebbero il numeratore > del denominatore.Sbagliato?
@ Gandalf73: Continuo a non afferrare.
Forse è meglio se posti un esempio.
Forse è meglio se posti un esempio.
@Gugo.
Prendiamo come esempio una successione del genere:
$f_n(x) = { (pi/n " " x=0) ,((sin n^2 pi x)/(n^3 x) " " x in "]0," 1/n^2 "]" ),(1/(n+2) arctg(x-1/n^2)" " x in "]"1/(n^2) "," 1 "]" ) :}$
Le funzioni limite sono tutte pari a $0$.
Si procede con la derivata.
Supponiamo di constatare che all'interno degli intervalli indicati troviamo la funzione sempre crescente.
E' lecito per esempio verificare il famoso limite del sup ,(per $n$ che tende all'infinito) fissare come valore assunto dalla $x$, $x_n = 1/n^2$?
Un saluto
A.
Prendiamo come esempio una successione del genere:
$f_n(x) = { (pi/n " " x=0) ,((sin n^2 pi x)/(n^3 x) " " x in "]0," 1/n^2 "]" ),(1/(n+2) arctg(x-1/n^2)" " x in "]"1/(n^2) "," 1 "]" ) :}$
Le funzioni limite sono tutte pari a $0$.
Si procede con la derivata.
Supponiamo di constatare che all'interno degli intervalli indicati troviamo la funzione sempre crescente.
E' lecito per esempio verificare il famoso limite del sup ,(per $n$ che tende all'infinito) fissare come valore assunto dalla $x$, $x_n = 1/n^2$?
Un saluto
A.
La funzione limite è una, non ha senso passare al limite tutte le funzioni dei vari casi. Bisogna ragionare sul problema, non fare conti a casaccio.
Nel caso proposto, innanzitutto, il dominio delle $f_n$ non dipende da $n$: è sempre $[0,1]$.
Poi, evidentemente, fissato $0< x <= 1$ esiste un indice $n_x in NN$ tale che per ogni $n >= n_x$ si ha $1/n^2 < x <=1$, dunque $f_n(x) = 1/(n+2) arctan(x - 1/n^2)$ per indici sufficientemente grandi. Conseguentemente:
$lim_n f_n(x) = lim_n 1/(n+2) arctan(x - 1/n^2) = 0$
per $0
$lim_n f_n(0) = 0$.
Ne viene che il limite puntuale è la funzione identicamente nulla in $[0,1]$.
Per studiare la convergenza uniforme devi andare a vedere di maggiorare la successione degli scarti, cioè le funzioni:
$|f_n (x) - f(x)| = |f_n(x)| = f_n(x) = \{ (pi/n , ", se " x = 0), ((sin n^2 pi x)/(n^3 x), ", se " 0 < x <= 1/n^2), (1/(n+2) arctan(x - 1/n^2), ", se " 1/n^2 < x <= 1):}$,
con una successione numerica convergente.
Questo lo puoi fare studiando la funzione $f_n$ e determinandone il massimo assoluto su $[0,1]$, ma puoi anche prendere strade differenti.
Ad esempio, dato che $t >= 0 => sin t <= t$ e che $arctan t < pi/2$, hai:
$0 < x <= 1/n^2 => f_n(x) = (sin n^2 pi x)/(n^3 x) <= (n^2 pi x)/(n^3 x) = pi/n$
e:
$1/n^2 < x <=1 => f_n(x) = 1/(n+2) arctan(x-1/n^2) < pi/(2(n+2))$
per ogni indice $n in NN$; dunque per ogni $ x in [0,1]$ hai:
$f_n(x) <= max \{ pi/n , pi/(2(n+2)) \} = pi/n$
e si vede che la successione maggiorante è infinitesima.
Ne viene che $f_n \stackrel{"u"}{ ->} 0$ in $[0,1]$.
Nel caso proposto, innanzitutto, il dominio delle $f_n$ non dipende da $n$: è sempre $[0,1]$.
Poi, evidentemente, fissato $0< x <= 1$ esiste un indice $n_x in NN$ tale che per ogni $n >= n_x$ si ha $1/n^2 < x <=1$, dunque $f_n(x) = 1/(n+2) arctan(x - 1/n^2)$ per indici sufficientemente grandi. Conseguentemente:
$lim_n f_n(x) = lim_n 1/(n+2) arctan(x - 1/n^2) = 0$
per $0
$lim_n f_n(0) = 0$.
Ne viene che il limite puntuale è la funzione identicamente nulla in $[0,1]$.
Per studiare la convergenza uniforme devi andare a vedere di maggiorare la successione degli scarti, cioè le funzioni:
$|f_n (x) - f(x)| = |f_n(x)| = f_n(x) = \{ (pi/n , ", se " x = 0), ((sin n^2 pi x)/(n^3 x), ", se " 0 < x <= 1/n^2), (1/(n+2) arctan(x - 1/n^2), ", se " 1/n^2 < x <= 1):}$,
con una successione numerica convergente.
Questo lo puoi fare studiando la funzione $f_n$ e determinandone il massimo assoluto su $[0,1]$, ma puoi anche prendere strade differenti.
Ad esempio, dato che $t >= 0 => sin t <= t$ e che $arctan t < pi/2$, hai:
$0 < x <= 1/n^2 => f_n(x) = (sin n^2 pi x)/(n^3 x) <= (n^2 pi x)/(n^3 x) = pi/n$
e:
$1/n^2 < x <=1 => f_n(x) = 1/(n+2) arctan(x-1/n^2) < pi/(2(n+2))$
per ogni indice $n in NN$; dunque per ogni $ x in [0,1]$ hai:
$f_n(x) <= max \{ pi/n , pi/(2(n+2)) \} = pi/n$
e si vede che la successione maggiorante è infinitesima.
Ne viene che $f_n \stackrel{"u"}{ ->} 0$ in $[0,1]$.
Grazie Gugo per avermi illustrato un modo di ragionare molto snello e brillante.
Vista la mia poca dimistichezza, avrei studiato le 3 candidate per ciascun intervallo.
Nello specifico, la derivata prima della seconda e terza, per poi procedere con limite del sup della differenza con la funzione limite (che è zero) per ciascun intervallo.
Quel che ti chiedo, appurato che ciascuna funzione candidata è crescente all'interno dei vari "spezzoni", constatato che il massimo è all'estremo dx di ciascuno di essi, nel limite del sup di $abs(f_n(x)-f(x))$, posso procedere nella stima , sostituendo alla $x$, il valore $x_n= 1/n^2$? (nel secondo intervallo per esempio). Ragionamento poi da estendersi agli altri fino a pervenire alla conclusione per l'intero $[0,1]$.Sarebbe sbagliato?A naso nn mi sembrerebbe anomala come via seppur molto più laboriosa e....meno elegante...
Vista la mia poca dimistichezza, avrei studiato le 3 candidate per ciascun intervallo.
Nello specifico, la derivata prima della seconda e terza, per poi procedere con limite del sup della differenza con la funzione limite (che è zero) per ciascun intervallo.
Quel che ti chiedo, appurato che ciascuna funzione candidata è crescente all'interno dei vari "spezzoni", constatato che il massimo è all'estremo dx di ciascuno di essi, nel limite del sup di $abs(f_n(x)-f(x))$, posso procedere nella stima , sostituendo alla $x$, il valore $x_n= 1/n^2$? (nel secondo intervallo per esempio). Ragionamento poi da estendersi agli altri fino a pervenire alla conclusione per l'intero $[0,1]$.Sarebbe sbagliato?A naso nn mi sembrerebbe anomala come via seppur molto più laboriosa e....meno elegante...
"Gandalf73":
Grazie Gugo per avermi illustrato un modo di ragionare molto snello e brillante.
Vista la mia poca dimistichezza, avrei studiato le 3 candidate per ciascun intervallo.
Nello specifico, la derivata prima della seconda e terza, per poi procedere con limite del sup della differenza con la funzione limite (che è zero) per ciascun intervallo.
Quel che ti chiedo, appurato che ciascuna funzione candidata è crescente all'interno dei vari "spezzoni", constatato che il massimo è all'estremo dx di ciascuno di essi, nel limite del sup di $abs(f_n(x)-f(x))$, posso procedere nella stima , sostituendo alla $x$, il valore $x_n= 1/n^2$? (nel secondo intervallo per esempio). Ragionamento poi da estendersi agli altri fino a pervenire alla conclusione per l'intero $[0,1]$.Sarebbe sbagliato?A naso nn mi sembrerebbe anomala come via seppur molto più laboriosa e....meno elegante...
"Candidata" a cosa?
Ci sono elezioni in vista?...
Non è vero che la funzione $(sin n^2 pi x)/(n^3 x)$ prende massimo nell'estremo destro dell'intervallo di definizione.
Beh si hai ragione.
ma in un caso generale, in cui si verificasse il carattere crescente, sarebbe lecito calcolare il limite del sup sostituendo alla x il termine generale della successione oppure è un qualcosa che non potrebbe mai avvenire?
Secondo me si...perchè se avessimo un intervallo che si restringe o si allarga con n e la successione in esso definita è decrescente o crescente, non è concettualmente errato pensare che il sup dipenda dall'estremo di definizione che a sua volta è legato ad n. E' una corbelleria?
Ps hai menzionato che il modo usato da te per risolvere la successione è uno dei modi...un altro quale potrebbe essere?
ma in un caso generale, in cui si verificasse il carattere crescente, sarebbe lecito calcolare il limite del sup sostituendo alla x il termine generale della successione oppure è un qualcosa che non potrebbe mai avvenire?
Secondo me si...perchè se avessimo un intervallo che si restringe o si allarga con n e la successione in esso definita è decrescente o crescente, non è concettualmente errato pensare che il sup dipenda dall'estremo di definizione che a sua volta è legato ad n. E' una corbelleria?
Ps hai menzionato che il modo usato da te per risolvere la successione è uno dei modi...un altro quale potrebbe essere?
Già il fatto che tu chiami "caso generale" un caso particolarissimo dovrebbe farti dubitare della validità di quel che scrivi.
Il punto della convergenza uniforme è quello di maggiorare la successione degli scarti $|f_n(x) - f(x)|$ (in cui, come al solito, $f$ è il limite puntuale delle $f_n$) con una successione numerica infinitesima. Come detto sopra, ciò si può fare in vari modi (dipende da quello che hai davanti agli occhi); in particolare, se le funzioni $f_n - f$ sono sufficientemente regolari (ad esempio, $C^1$ a tratti come nei casi proposti), si può sfruttare lo studio della monotonia fatto con i metodi del Calcolo Differenziale per determinare gli estremi di ogni $f_n - f$ e, quindi, l'estremo superiore $M_n$ di ogni scarto $|f_n - f|$; se poi la successione degli $M_n$ tende a zero è fatta.
In generale, però, non puoi dire a priori (a meno di casi particolari) se l'estremo superiore degli scarti è un massimo e, anche quando sai dire che lo è, non puoi dire che l'eventuale massimo deve stare in uno degli eventuali punti di giunzione tra le diverse espressioni analitiche dello scarto (anche se tali punti sono comunque candidati ad essere di estremo, visto che in essi i teoremi sulle derivate falliscono).
Il punto della convergenza uniforme è quello di maggiorare la successione degli scarti $|f_n(x) - f(x)|$ (in cui, come al solito, $f$ è il limite puntuale delle $f_n$) con una successione numerica infinitesima. Come detto sopra, ciò si può fare in vari modi (dipende da quello che hai davanti agli occhi); in particolare, se le funzioni $f_n - f$ sono sufficientemente regolari (ad esempio, $C^1$ a tratti come nei casi proposti), si può sfruttare lo studio della monotonia fatto con i metodi del Calcolo Differenziale per determinare gli estremi di ogni $f_n - f$ e, quindi, l'estremo superiore $M_n$ di ogni scarto $|f_n - f|$; se poi la successione degli $M_n$ tende a zero è fatta.
In generale, però, non puoi dire a priori (a meno di casi particolari) se l'estremo superiore degli scarti è un massimo e, anche quando sai dire che lo è, non puoi dire che l'eventuale massimo deve stare in uno degli eventuali punti di giunzione tra le diverse espressioni analitiche dello scarto (anche se tali punti sono comunque candidati ad essere di estremo, visto che in essi i teoremi sulle derivate falliscono).
Tutto vero.
Me ne sono capitate altre dove il carattere ed i metodi differenziali , consentivano la sostituzione della variabile indipendente con l'estremo dell'intervallo.
Visto che questo era una successione per come assegnato, eseguendo poi il limite degli scarti (che risultava dipendente dall'indice), si scopriva la tendenza a zero della differenza del sup.
Era solo per chiedere se la cosa potesse comunque a priori risultare "oscena" oppure in alcune successioni definite in intervalli con estremi variabili, la cosa potesse capitare (il max delle $f_n - f(x)$ assunto in $x_n$).
Me ne sono capitate altre dove il carattere ed i metodi differenziali , consentivano la sostituzione della variabile indipendente con l'estremo dell'intervallo.
Visto che questo era una successione per come assegnato, eseguendo poi il limite degli scarti (che risultava dipendente dall'indice), si scopriva la tendenza a zero della differenza del sup.
Era solo per chiedere se la cosa potesse comunque a priori risultare "oscena" oppure in alcune successioni definite in intervalli con estremi variabili, la cosa potesse capitare (il max delle $f_n - f(x)$ assunto in $x_n$).
Sinceramente, non ho capito cosa hai scritto.
Comunque, prova a meditare sulla successione:
$f_n(x) := \{(x/(1-nx), ", se " 0 <= x < 1/n), (-x^2+(n+1)/n x-1/n , ", se " 1/n <= x <= 1):}$.
Comunque, prova a meditare sulla successione:
$f_n(x) := \{(x/(1-nx), ", se " 0 <= x < 1/n), (-x^2+(n+1)/n x-1/n , ", se " 1/n <= x <= 1):}$.
Ciao Gugo, complimenti per l'esempio.
La cosa che sono riuscito a notare è che la successione di funzioni che hai postato nel punto 0 vale zero ($ f_n(0)=0 $).L'intervallo di definizione si accorcia per la prima sino a diventare il punto zero e si dilata nella seconda sino a diventare $]0,1]$ ;
Nei punti dell'intervallo $[1/n,1]$ ho convergenza puntuale.
Per la uniforme sto arrovellandomi se stimarla con una maggiorazione o se procedere calcolando il limite del sup afferrandone il carattere all'interno dell'intervallo (se crescente o decrescente).
Non è banale ed è altamente istruttiva
La cosa che sono riuscito a notare è che la successione di funzioni che hai postato nel punto 0 vale zero ($ f_n(0)=0 $).L'intervallo di definizione si accorcia per la prima sino a diventare il punto zero e si dilata nella seconda sino a diventare $]0,1]$ ;
Nei punti dell'intervallo $[1/n,1]$ ho convergenza puntuale.
Per la uniforme sto arrovellandomi se stimarla con una maggiorazione o se procedere calcolando il limite del sup afferrandone il carattere all'interno dell'intervallo (se crescente o decrescente).
Non è banale ed è altamente istruttiva
"Gandalf73":
Ciao Gugo, complimenti per l'esempio.
Grazie.
"Gandalf73":
La cosa che sono riuscito a notare è che la successione di funzioni che hai postato nel punto 0 vale zero ($ f_n(0)=0 $). L'intervallo di definizione si accorcia per la prima sino a diventare il punto zero e si dilata nella seconda sino a diventare $]0,1]$.
Vabbè, cose che si vedono "ad occhio".
"Gandalf73":
Nei punti dell'intervallo $[1/n,1]$ ho convergenza puntuale.
Questo non ha granché senso.
Se $n$ è fissato, anche $f_n$ lo è; dunque non hai nessuna successione da passare al limite e non ha senso nominare la convergenza puntuale.
"Gandalf73":
Per la uniforme sto arrovellandomi se stimarla con una maggiorazione o se procedere calcolando il limite del sup afferrandone il carattere all'interno dell'intervallo (se crescente o decrescente).
Una volta calcolato il limite puntuale in tutto $[0,1]$, prova a determinare gli scarti ed a disegnarli.
Non c'è bisogno di fare calcoli.
"Gandalf73":
Non è banale ed è altamente istruttiva
In realtà è banalissimo, ma istruttivo.
Gugo,
ma nel primo intervallo il limite non è solo il punto 0?
nella seconda per qualsiasi x interno all'intervallo $ [1/n, 1] $ fa zero anche li...o sbaglio qualcosa?
A.
ma nel primo intervallo il limite non è solo il punto 0?
nella seconda per qualsiasi x interno all'intervallo $ [1/n, 1] $ fa zero anche li...o sbaglio qualcosa?
A.
Cosa "fa zero"?
Sei cosciente del fatto che le variabili vanno quantificate e che lasciare una variabile libera in un discorso non sempre lo rende sensato?
[Vedi qui, Nota 4]
Sei cosciente del fatto che le variabili vanno quantificate e che lasciare una variabile libera in un discorso non sempre lo rende sensato?
[Vedi qui, Nota 4]
Ciao Gugo,
allora diciamo che ho sezionato l'esercizio.Dunque come scritto la prima funzione al crescere di n può essere valutata come caso limite solo per $ x=0 $ ed pari a 0.
Quando $x$ varia invece all'interno dell'intervallo $[1/n,1] $ la successione ivi definita converge ugualmente e puntualmente a zero.
La convergenza uniforme è garantita in quanto la stima del sup degli scarti tra le $abs (f_n(x) - f(x)) $ raggiunge il suo massimo nel punto $(n+1)/(2n)$ (basta effettuare lo studio della derivata prima). Il limite di detto sup nel punto trovato tende a zero e quindi porta alla conseguenza di cui sopra.
Spero di non aver detto corbellerie.
Attendo tue illuminazioni a riguardo circa la correttezza di quanto asserito
allora diciamo che ho sezionato l'esercizio.Dunque come scritto la prima funzione al crescere di n può essere valutata come caso limite solo per $ x=0 $ ed pari a 0.
Quando $x$ varia invece all'interno dell'intervallo $[1/n,1] $ la successione ivi definita converge ugualmente e puntualmente a zero.
La convergenza uniforme è garantita in quanto la stima del sup degli scarti tra le $abs (f_n(x) - f(x)) $ raggiunge il suo massimo nel punto $(n+1)/(2n)$ (basta effettuare lo studio della derivata prima). Il limite di detto sup nel punto trovato tende a zero e quindi porta alla conseguenza di cui sopra.
Spero di non aver detto corbellerie.
Attendo tue illuminazioni a riguardo circa la correttezza di quanto asserito
Eddaje… Se “$x$ varia in $[1/n,1]$” allora $n$ è fissato e non c'è nessuna successione da considerare.
..si questo l'ho afferrato.Ma allora come si esprime il concetto che ho messo in modo "analitico" per la seconda parte dello studio in modo tecnicamente corretto?
Come ho fatto sopra: devi fissare $x$ (non $n$) e far variare $n$ (non $x$).
Fissato $x in ]0,1]$ esiste un indice $n_x$ a partire dal quale in poi risulta $1/n <= x <= 1$, cosicché per $n >= n_x$ hai $f_n (x) = - x^2 + (n+1)/n x - 1/n$; dunque:
$0 < x <= 1\ =>\ lim_n f_n(x) = - x^2 + x =: f(x)$.
D’altra parte, in $ 0$ hai $f_n(0) = 0$ per ogni $n$; dunque $lim_n f_n(0) = 0 = f(0)$.
Morale, la tua successione converge puntualmente verso $f(x) := - x^2 + x = x (1-x)$.
Fissato $x in ]0,1]$ esiste un indice $n_x$ a partire dal quale in poi risulta $1/n <= x <= 1$, cosicché per $n >= n_x$ hai $f_n (x) = - x^2 + (n+1)/n x - 1/n$; dunque:
$0 < x <= 1\ =>\ lim_n f_n(x) = - x^2 + x =: f(x)$.
D’altra parte, in $ 0$ hai $f_n(0) = 0$ per ogni $n$; dunque $lim_n f_n(0) = 0 = f(0)$.
Morale, la tua successione converge puntualmente verso $f(x) := - x^2 + x = x (1-x)$.
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