Successione Funzioni (dubbi su derivazione ed integrazione)
Buongiorno, oggi vi stresso per l'ultima giornata....poi da domani...quel che è fatto è fatto .... fra 48 ore esame in corso.... 
In questi giorni ho cercato di raccogliere più informazioni possibili in vista dell'esame, ma c'è un ultimo punto dove sono proprio a zero o quasi, ovvero le successioni di funzioni.
Nel senso che se devo calcolare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme grosso modo il procedimento dovrei saperlo fare.
Ma ora guardavo vecchi temi di esami e mi è saltato all'occhio un esercizio dove non ho proprio idea di dove mettere le mani, tanto meno cosa cercare su **** per capirci qualcosa in più (ad occhio direi darivazione per serie ed integrazione per serie, ma è proprio un azzardo)
Mi potete aiutare
Sapendo che $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{n+cos(nx)}{n^3}^n$ converge uniformemente calcolare:
1) $f'(x)$
2) $ int\f(x) dx $
Non ho davvero idea di dove sbattere la testa.... (a parte il muro 
)!!!!
Grazie anticipatamente
In questi giorni ho cercato di raccogliere più informazioni possibili in vista dell'esame, ma c'è un ultimo punto dove sono proprio a zero o quasi, ovvero le successioni di funzioni.
Nel senso che se devo calcolare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme grosso modo il procedimento dovrei saperlo fare.
Ma ora guardavo vecchi temi di esami e mi è saltato all'occhio un esercizio dove non ho proprio idea di dove mettere le mani, tanto meno cosa cercare su **** per capirci qualcosa in più (ad occhio direi darivazione per serie ed integrazione per serie, ma è proprio un azzardo)
Mi potete aiutare
Sapendo che $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{n+cos(nx)}{n^3}^n$ converge uniformemente calcolare:
1) $f'(x)$
2) $ int\f(x) dx $
Non ho davvero idea di dove sbattere la testa....
(a parte il muro )!!!!Grazie anticipatamente
Risposte
Se la convergenza è uniforme, allora
\[
\frac{d}{dx}\Bigg(\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)\Bigg)=\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigg(\frac{d}{dx}f_n(x)\Bigg)
\]
e
\[
\int\Bigg(\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x) \Bigg)dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigg(\int f_n(x) dx\Bigg)
\]
\[
\frac{d}{dx}\Bigg(\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)\Bigg)=\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigg(\frac{d}{dx}f_n(x)\Bigg)
\]
e
\[
\int\Bigg(\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x) \Bigg)dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigg(\int f_n(x) dx\Bigg)
\]
"billyballo2123":
Se la convergenza è uniforme, allora
\[
\frac{d}{dx}\Bigg(\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)\Bigg)=\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigg(\frac{d}{dx}f_n(x)\Bigg)
\]
...
Ma billyballo2123, dai!
Il teorema di derivazione termine a termine è un pochino diverso...
Vedasi ad esempio gli appunti del mio carissimo collega Sandro, dei tempi in cui ero "pavese":
http://www-dimat.unipv.it/pier/teaching ... ntiAMB.pdf
pag. 6
Io continuo ad essere in alto mare.....ma a questo punto mi conviene rinunciare
Se esce un esercizio del genere....forse mi conviene passare....la teoria proprio non la capisco ed esercizi risolti come questo (che magari mi aiuterebbe a capire) non ne ho trovati.....
Ad ogni modo Grazie.
In pratica in questo
\[
\frac{d}{dx}\Bigg(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+\cos(nx)^n}{n^3}\Bigg)=
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigg(\frac{d}{dx}\frac{n+\cos(nx)^n}{n^3}\Bigg)=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+n\cos(nx)^{n-1}\big(-\sin(nx)n\big)}{n^3}.
\]
Però come dice Fioravante Patrone, bisogna controllare se
\[
\sum\frac{n+n\cos(nx)^{n-1}\big(-\sin(nx)n\big)}{n^3}
\]
converge uniformemente, altrimenti i passaggi sopra non sono validi.
\[
\frac{d}{dx}\Bigg(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+\cos(nx)^n}{n^3}\Bigg)=
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigg(\frac{d}{dx}\frac{n+\cos(nx)^n}{n^3}\Bigg)=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+n\cos(nx)^{n-1}\big(-\sin(nx)n\big)}{n^3}.
\]
Però come dice Fioravante Patrone, bisogna controllare se
\[
\sum\frac{n+n\cos(nx)^{n-1}\big(-\sin(nx)n\big)}{n^3}
\]
converge uniformemente, altrimenti i passaggi sopra non sono validi.
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